Страница 141 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

580. На рисунке 141 изображён вектор $ \vec{a} $ (длина стороны клетки равна 0,5 см). Отложите от точки A вектор $ \vec{b} $ такой, что $ |\vec{b}|=3 \text{ см} $ и $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=120^\circ $. Сколько решений имеет задача?

Рис. 139

Рис. 140

Рис. 141

По условию задачи, на рисунке 141 изображен вектор $\vec{a}$, отложенный от точки A. Длина стороны клетки сетки равна 0,5 см. Вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо и его длина составляет 4 клетки. Следовательно, его модуль (длина) равен: $|\vec{a}| = 4 \times 0,5 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Требуется отложить от той же точки A вектор $\vec{b}$ со следующими характеристиками:

• Длина вектора $|\vec{b}| = 3$ см.
• Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, то есть $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$.

Для построения вектора $\vec{b}$ необходимо из его начальной точки A провести луч под углом $120^\circ$ к вектору $\vec{a}$. В плоскости рисунка угол от заданного луча (на котором лежит вектор $\vec{a}$) можно отложить двумя способами:
1. Против часовой стрелки (вверх от вектора $\vec{a}$).
2. По часовой стрелке (вниз от вектора $\vec{a}$).

Таким образом, мы получаем два различных луча, выходящих из точки А, каждый из которых образует угол $120^\circ$ с вектором $\vec{a}$. На каждом из этих лучей от точки A нужно отложить отрезок длиной 3 см. Конец каждого отрезка будет являться концом одного из возможных векторов $\vec{b}$.

Поскольку существует два возможных направления для построения вектора $\vec{b}$, которые удовлетворяют заданным условиям, задача имеет два решения. Эти два вектора будут симметричны относительно прямой, содержащей вектор $\vec{a}$.

Ответ: 2.

Рис. 142

581. На рисунке 142 изображён равносторонний треугольник $ABC$, медианы которого $AM$ и $BK$ пересекаются в точке $F$. Найдите угол между векторами:

1) $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$;

2) $\vec{BA}$ и $\vec{AC}$;

3) $\vec{BC}$ и $\vec{AM}$;

4) $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$;

5) $\vec{AB}$ и $\vec{BK}$;

6) $\vec{AM}$ и $\vec{BK}$;

7) $\vec{CF}$ и $\vec{AB}$.

582. На рисунке 143 изображён квадрат $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Найдите угол между векторами:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$; 2) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$; 3) $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$;

4) $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$; 5) $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$.

Рис. 143

1) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DA}$. Чтобы найти угол между векторами, необходимо отложить их от одной точки. Перенесем вектор $\vec{AB}$ так, чтобы его начало совпало с началом вектора $\vec{DA}$, то есть с точкой D. Получим вектор $\vec{DC}$, который равен вектору $\vec{AB}$ (так как в квадрате $ABCD$ стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны, а векторы сонаправлены). Теперь задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{DC}$ и $\vec{DA}$. Оба эти вектора выходят из одной точки D, следовательно, угол между ними равен углу $\angle ADC$. Так как $ABCD$ — это квадрат, все его углы прямые, поэтому $\angle ADC = 90^\circ$. Ответ: $90^\circ$.

2) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Оба вектора, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, начинаются в одной точке A. Следовательно, угол между ними — это угол $\angle BAC$. В квадрате диагональ является биссектрисой его угла. Угол $\angle DAB = 90^\circ$. Диагональ $AC$ делит его пополам. Таким образом, $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$.

3) Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$. Вектор $\vec{CA}$ является противоположным вектору $\vec{AC}$, то есть $\vec{CA} = -\vec{AC}$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен $45^\circ$ (как найдено в пункте 2). Угол между векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ связан с углом между $\vec{v_1}$ и $-\vec{v_2}$ соотношением $\angle(\vec{v_1}, -\vec{v_2}) = 180^\circ - \angle(\vec{v_1}, \vec{v_2})$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$ равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. $\angle(\vec{AB}, \vec{CA}) = 180^\circ - \angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Ответ: $135^\circ$.

4) Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$. Чтобы найти угол, перенесем векторы к общему началу. Вектор $\vec{CB}$ равен вектору $\vec{DA}$ ($\vec{CB} = \vec{DA}$), так как они сонаправлены и их длины равны. Задача сводится к нахождению угла между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{DA}$. Оба вектора выходят из точки D, значит, искомый угол равен $\angle BDA$. Диагональ $BD$ в квадрате является биссектрисой угла $\angle ADC$. Так как $\angle ADC = 90^\circ$, то $\angle BDA = \frac{1}{2} \angle ADC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$.

5) Угол между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$ ($\vec{CD} = \vec{BA}$), так как они сонаправлены (при обходе вершин в одном порядке) и их длины равны. Следовательно, угол между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{CD}$ равен углу между векторами $\vec{BO}$ и $\vec{BA}$. Оба вектора, $\vec{BO}$ и $\vec{BA}$, выходят из одной точки B. Угол между ними — это $\angle OBA$. Точка O лежит на диагонали $BD$, поэтому угол $\angle OBA$ совпадает с углом $\angle DBA$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle CBA$. Поскольку $\angle CBA = 90^\circ$, то $\angle DBA = \frac{1}{2} \angle CBA = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$. Значит, $\angle OBA = 45^\circ$. Ответ: $45^\circ$.

583. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}| = 2 $, $ |\vec{b}| = 5 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^{\circ} $;

2) $ |\vec{a}| = 3 $, $ |\vec{b}| = 2\sqrt{2} $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^{\circ} $;

3) $ |\vec{a}| = 4 $, $ |\vec{b}| = 1 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{\circ} $;

4) $ |\vec{a}| = \frac{1}{2} $, $ |\vec{b}| = 6 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 180^{\circ} $;

5) $ |\vec{a}| = 0.3 $, $ |\vec{b}| = 0 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b}) = 137^{\circ} $.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — длины векторов, а $\angle(\vec{a}, \vec{b})$ — угол между ними.

1)

Дано: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.

Ответ: 5.

2)

Дано: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -6 \cdot \frac{2}{2} = -6$.

Ответ: -6.

3)

Дано: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 1$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 0^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 1 \cdot \cos(0^\circ) = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4.

4)

Дано: $|\vec{a}| = \frac{1}{2}$, $|\vec{b}| = 6$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \cos(180^\circ) = 3 \cdot (-1) = -3$.

Ответ: -3.

5)

Дано: $|\vec{a}| = 0,3$, $|\vec{b}| = 0$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 137^\circ$.

Поскольку длина одного из векторов равна нулю ($|\vec{b}| = 0$), скалярное произведение также равно нулю.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0,3 \cdot 0 \cdot \cos(137^\circ) = 0$.

Ответ: 0.