Номер 7, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Что называют скалярным произведением двух векторов?

Скалярным произведением двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется число (скаляр), равное произведению модулей (длин) этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

Основная формула, выражающая геометрический смысл скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \gamma$

где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\gamma$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение по определению равно нулю.

Скалярное произведение можно также вычислить через координаты векторов в прямоугольной декартовой системе координат. В этом случае оно равно сумме произведений соответствующих координат векторов:

Для векторов на плоскости $\vec{a} = \{x_1, y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2\}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Для векторов в пространстве $\vec{a} = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2, y_2, z_2\}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Из определения следует важное свойство: скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны), так как косинус угла $90^\circ$ равен нулю.

Ответ: Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.