Номер 576, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

576. Диагонали параллелограмма равны 6 см и 16 см, а одна из сторон – 7 см. Найдите угол между диагоналями параллелограмма и его площадь.

Пусть дан параллелограмм. Его диагонали $d_1 = 6$ см и $d_2 = 16$ см, а одна из сторон $a = 7$ см. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, они образуют четыре треугольника. Рассмотрим один из них, сторонами которого являются сторона параллелограмма $a$ и половины диагоналей. Стороны этого треугольника равны $a = 7$ см, $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см и $\frac{d_2}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Пусть $\alpha$ — это угол между диагоналями. В рассматриваемом треугольнике этот угол лежит напротив стороны $a = 7$ см. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:
$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Подставим числовые значения в формулу:
$7^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos(\alpha)$
$49 = 9 + 64 - 48 \cos(\alpha)$
$49 = 73 - 48 \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$:
$48 \cos(\alpha) = 73 - 49$
$48 \cos(\alpha) = 24$
$\cos(\alpha) = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем сам угол $\alpha$:
$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$
Диагонали при пересечении образуют две пары вертикальных углов. Один из углов равен $60^\circ$, а смежный с ним — $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По определению, углом между прямыми считается меньший из образовавшихся углов.

Ответ: $60^\circ$.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле через длины его диагоналей и синус угла между ними:
$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

Подставим известные значения: $d_1 = 6$ см, $d_2 = 16$ см, и найденный угол $\alpha = 60^\circ$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 \cdot \sin(60^\circ)$

Мы знаем, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Выполним вычисления:
$S = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $24\sqrt{3}$ см$^2$.