Номер 570, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

570. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $AM : MC = 2 : 3$. Докажите, что $\vec{BM} = \frac{3}{5}\vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC}$.

Для доказательства воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Выразим вектор $\vec{BM}$ через векторы, исходящие из точки B:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \vec{AM}$

Из условия задачи известно, что точка M делит сторону AC в отношении $AM : MC = 2 : 3$. Это означает, что длина отрезка AM составляет $\frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}$ от длины всей стороны AC. Так как точка M лежит на отрезке AC, векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AC}$ сонаправлены. Следовательно, мы можем записать следующее векторное равенство:

$\vec{AM} = \frac{2}{5}\vec{AC}$

Теперь подставим это выражение для вектора $\vec{AM}$ в нашу первую формулу:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{AC}$

Далее необходимо выразить вектор $\vec{AC}$ через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$, которые являются базисными в данном выражении. По правилу треугольника для векторов в $\triangle ABC$:

$\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA}$

Подставим полученное выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{BM}$:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{2}{5}(\vec{BC} - \vec{BA})$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{BM} = \vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC} - \frac{2}{5}\vec{BA}$

$\vec{BM} = (1 - \frac{2}{5})\vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC}$

$\vec{BM} = \frac{3}{5}\vec{BA} + \frac{2}{5}\vec{BC}$

Таким образом, мы доказали требуемое равенство.

Ответ: Что и требовалось доказать.