Номер 569, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

569. Пусть точки $M$ и $N$ – соответственно середины диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$). Используя задачу 566, докажите, что $MN \parallel AD$.

Для доказательства воспользуемся результатом, который обычно доказывается в предшествующих задачах (в данном случае, задача 566) — теоремой о средней линии треугольника. Теорема гласит, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Точка $M$ является серединой диагонали $AC$, а точка $N$ — серединой диагонали $BD$.

1. В качестве дополнительного построения выберем точку $K$ — середину боковой стороны $CD$ трапеции.

2. Рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $MK$ соединяет середину стороны $AC$ (точка $M$ по условию) и середину стороны $CD$ (точка $K$ по построению). Таким образом, $MK$ является средней линией треугольника $ACD$. Согласно теореме о средней линии, $MK \parallel AD$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $NK$ соединяет середину стороны $BD$ (точка $N$ по условию) и середину стороны $CD$ (точка $K$ по построению). Таким образом, $NK$ является средней линией треугольника $BCD$. Согласно теореме о средней линии, $NK \parallel BC$.

4. По условию задачи, основания трапеции параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Из пункта 3 мы знаем, что $NK \parallel BC$. По свойству транзитивности параллельных прямых (если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой), получаем, что $NK \parallel AD$.

5. Итак, мы получили, что прямая, содержащая отрезок $MK$, параллельна $AD$, и прямая, содержащая отрезок $NK$, также параллельна $AD$. Обе эти прямые проходят через одну и ту же точку $K$. Согласно аксиоме о параллельных прямых, через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые, содержащие отрезки $MK$ и $NK$, совпадают. Это означает, что точки $M$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой.

6. Поскольку точки $M$ и $N$ принадлежат прямой, которая параллельна $AD$, то и сам отрезок $MN$ параллелен прямой $AD$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что $MN \parallel AD$.