Номер 565, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

565. С помощью векторов докажите теорему о средней линии треугольника.

Теорема о средней линии треугольника утверждает, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. Докажем это утверждение с помощью векторов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $BC$. Тогда отрезок $MN$ — это средняя линия треугольника $ABC$.

Чтобы доказать теорему, выразим вектор $\vec{MN}$, соответствующий средней линии, через векторы, соответствующие сторонам треугольника. По правилу сложения векторов (пройдя по контуру от $M$ к $N$ через точку $B$) имеем:

$\vec{MN} = \vec{MB} + \vec{BN}$

Поскольку $M$ — середина отрезка $AB$, то вектор $\vec{MB}$ составляет половину вектора $\vec{AB}$ и сонаправлен с ним. Аналогично, так как $N$ — середина $BC$, вектор $\vec{BN}$ составляет половину вектора $\vec{BC}$. Запишем это математически:

$\vec{MB} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{BN} = \frac{1}{2}\vec{BC}$

Подставим эти выражения в исходное равенство для $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})$

По правилу треугольника сложения векторов, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ равна вектору $\vec{AC}$:

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Подставив это в наше выражение, получаем итоговое векторное соотношение:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Это равенство доказывает оба положения теоремы:

1. Вектор $\vec{MN}$ равен вектору $\vec{AC}$, умноженному на скаляр $k = \frac{1}{2}$. По определению коллинеарности векторов, это означает, что векторы $\vec{MN}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, то есть лежат на параллельных прямых. Следовательно, средняя линия $MN$ параллельна основанию $AC$.

2. Из этого же равенства следует соотношение для длин (модулей) векторов: $|\vec{MN}| = |\frac{1}{2}\vec{AC}| = \frac{1}{2}|\vec{AC}|$. Поскольку длина вектора равна длине соответствующего отрезка, то длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $AC$.

Таким образом, оба утверждения теоремы доказаны.

Ответ: Теорема о средней линии треугольника доказана. Установлено, что вектор средней линии $\vec{MN}$ и вектор основания $\vec{AC}$ связаны соотношением $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$, из которого следует, что $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.