Номер 567, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

567. Используя задачу 566, докажите теорему о средней линии трапеции.

Для доказательства теоремы о средней линии трапеции воспользуемся утверждением из задачи 566, согласно которому отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности её оснований.

Сформулируем теорему, которую необходимо доказать: средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $AD=a$ и $BC=b$. Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, а $N$ — середина боковой стороны $CD$. Отрезок $MN$ является средней линией трапеции. Также введём точки $P$ и $Q$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно.

Сначала докажем, что средняя линия параллельна основаниям. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$, поэтому $MQ$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии треугольника, $MQ \parallel AD$. Так как по определению трапеции $AD \parallel BC$, то и $MQ \parallel BC$. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. Отрезок $NQ$ соединяет середины сторон $CD$ и $BD$. Следовательно, $NQ$ — средняя линия треугольника $BCD$, и $NQ \parallel BC$. Так как прямые, содержащие отрезки $MQ$ и $NQ$, проходят через одну точку $Q$ и обе параллельны прямой $BC$, эти прямые совпадают. Это означает, что точки $M, Q, N$ лежат на одной прямой, которая параллельна основаниям трапеции. Таким образом, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Теперь докажем, что длина средней линии равна полусумме оснований. Из предыдущего рассуждения следует, что точки $M, Q, N$ лежат на одной прямой. Аналогично, рассмотрев треугольник $ABC$, можно показать, что точка $P$ (середина диагонали $AC$) также лежит на прямой $MN$. Таким образом, все четыре точки $M, P, Q, N$ лежат на одной прямой — средней линии трапеции.

Для нахождения длины $MN$ воспользуемся фактом из задачи 566: $PQ = \frac{|a-b|}{2}$.

Предположим, что $a > b$. В этом случае точки на средней линии располагаются в порядке $M, P, Q, N$. Длину отрезка $MN$ можно найти как сумму длин составляющих его отрезков: $MN = MP + PQ + QN$. Найдём длины этих отрезков. Отрезок $MP$ является средней линией треугольника $ABC$, следовательно, $MP = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Длина отрезка $PQ$ дана из задачи 566: $PQ = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a-b}{2}$. Отрезок $QN$ является средней линией треугольника $BCD$, следовательно, $QN = \frac{BC}{2} = \frac{b}{2}$. Складывая длины, получаем: $MN = \frac{b}{2} + \frac{a-b}{2} + \frac{b}{2} = \frac{b + a - b + b}{2} = \frac{a+b}{2}$.

Если же $b > a$, то точки на средней линии располагаются в порядке $M, Q, P, N$. Тогда $MN = MQ + QP + PN$. Длина $MQ$ (средняя линия $\triangle ABD$) равна $\frac{a}{2}$. Длина $QP$ (из задачи 566) равна $\frac{b-a}{2}$. Длина $PN$ (средняя линия $\triangle ACD$) равна $\frac{a}{2}$. Складывая длины, получаем: $MN = \frac{a}{2} + \frac{b-a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a + b - a + a}{2} = \frac{a+b}{2}$.

В обоих случаях результат одинаков. Таким образом, теорема о средней линии трапеции полностью доказана.

Ответ: Теорема доказана. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований.