Номер 574, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

574. На стороне $AD$ и на диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $N$ так, что $AM = \frac{1}{5}AD$ и $AN = \frac{1}{6}AC$. Докажите, что точки $M, N$ и $B$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки M, N и B лежат на одной прямой, воспользуемся векторным методом. Достаточно показать, что векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MB}$ коллинеарны, то есть один вектор можно выразить через другой с помощью некоторого скалярного множителя: $\vec{MN} = k \cdot \vec{MB}$.

Примем точку А за начало векторов. Тогда векторы, соответствующие сторонам параллелограмма, будут $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.

По правилу параллелограмма для векторов, диагональ $\vec{AC}$ равна сумме векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$:$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$

Выразим векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ через базисные векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.По условию, точка M лежит на стороне AD и $AM = \frac{1}{5}AD$. Следовательно, вектор $\vec{AM}$ сонаправлен с вектором $\vec{AD}$, и его длина составляет $\frac{1}{5}$ длины $\vec{AD}$.$\vec{AM} = \frac{1}{5}\vec{AD}$

Точка N лежит на диагонали AC и $AN = \frac{1}{6}AC$. Аналогично,$\vec{AN} = \frac{1}{6}\vec{AC}$Подставим выражение для $\vec{AC}$:$\vec{AN} = \frac{1}{6}(\vec{AB} + \vec{AD})$

Теперь найдем векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MB}$.Вектор $\vec{MN}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AM}$ (по правилу треугольника):$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{6}(\vec{AB} + \vec{AD}) - \frac{1}{5}\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} + \frac{1}{6}\vec{AD} - \frac{1}{5}\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} + (\frac{1}{6} - \frac{1}{5})\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} + (\frac{5 - 6}{30})\vec{AD}$$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} - \frac{1}{30}\vec{AD}$

Вектор $\vec{MB}$ можно выразить как разность векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AM}$:$\vec{MB} = \vec{AB} - \vec{AM} = \vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AD}$

Сравним полученные выражения для векторов $\vec{MN}$ и $\vec{MB}$:$\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{AB} - \frac{1}{30}\vec{AD}$$\vec{MB} = \vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AD}$

Можно заметить, что если вынести за скобки множитель $\frac{1}{6}$ в выражении для вектора $\vec{MN}$, то получим:$\vec{MN} = \frac{1}{6}(\vec{AB} - \frac{5}{30}\vec{AD}) = \frac{1}{6}(\vec{AB} - \frac{1}{5}\vec{AD})$Выражение в скобках в точности равно вектору $\vec{MB}$.Таким образом, мы получили, что $\vec{MN} = \frac{1}{6}\vec{MB}$.

Поскольку вектор $\vec{MN}$ является произведением вектора $\vec{MB}$ на число ($\frac{1}{6}$), эти векторы коллинеарны. Так как они отложены от одной точки M, то точки M, N и B лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки M, N и B лежат на одной прямой.