Номер 575, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

575. Меньшее основание и боковая сторона равнобокой трапеции равны 12 см. Чему равна средняя линия трапеции, если один из её углов равен $60^\circ$?

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где BC — меньшее основание, AD — большее основание, а AB и CD — боковые стороны. По условию задачи, меньшее основание и боковая сторона равны 12 см, то есть $BC = AB = CD = 12$ см. Один из углов трапеции равен $60^\circ$. В равнобокой трапеции углы при большем основании острые, а при меньшем — тупые. Следовательно, углы при большем основании равны $60^\circ$: $\angle A = \angle D = 60^\circ$.

Для нахождения длины большего основания AD, опустим из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Четырехугольник BCKH является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$. Следовательно, $HK = BC = 12$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем гипотенуза $AB = 12$ см, а угол $\angle A = 60^\circ$. Найдем катет AH, который является проекцией боковой стороны AB на основание AD. Используя определение косинуса, получим:

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 12 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:

$AH = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Поскольку трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники ABH и DCK равны. Значит, их катеты AH и KD также равны: $KD = AH = 6$ см.

Теперь мы можем найти длину большего основания AD, сложив длины отрезков, на которые оно разбито:

$AD = AH + HK + KD = 6 + 12 + 6 = 24$ см.

Средняя линия трапеции (обозначим ее m) равна полусумме ее оснований:

$m = \frac{BC + AD}{2}$

Подставим известные значения длин оснований:

$m = \frac{12 + 24}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Ответ: 18 см.