Номер 571, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

571. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$ так, что $BD : DC = 1 : 2$. Докажите, что $\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$.

Для решения этой задачи воспользуемся векторным методом. Мы должны выразить вектор $\vec{AD}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

1. Выразим вектор $\vec{AD}$ по правилу треугольника, используя векторы, выходящие из вершины $A$ и идущие в вершины треугольника $ABD$:

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}$

2. Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{BD}$ через базовые векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Точка $D$ лежит на отрезке $BC$. Это означает, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BC}$ коллинеарны и сонаправлены (имеют одинаковое направление).

3. Из условия задачи дано соотношение $BD : DC = 1 : 2$. Это значит, что отрезок $BD$ составляет 1 часть, а отрезок $DC$ — 2 части. Весь отрезок $BC$ состоит из $1+2=3$ таких частей. Таким образом, длина отрезка $BD$ составляет $\frac{1}{3}$ от длины всего отрезка $BC$.

4. Поскольку векторы $\vec{BD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, мы можем записать их соотношение:

$\vec{BD} = \frac{1}{3}\vec{BC}$

5. Выразим вектор $\vec{BC}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ по правилу вычитания векторов, имеющих общее начало в точке $A$:

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$

6. Теперь подставим это выражение для $\vec{BC}$ в формулу для $\vec{BD}$ из пункта 4:

$\vec{BD} = \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$

7. Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{BD}$ в исходную формулу для $\vec{AD}$ из пункта 1:

$\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AB} + \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$

8. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\vec{AD} = \vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} - \frac{1}{3}\vec{AB}$

$\vec{AD} = (1 - \frac{1}{3})\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

$\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$, что и требовалось.

Ответ: Равенство доказано.