Номер 566, страница 133 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

566. Пусть точки $M_1$ и $M_2$ – середины отрезков $A_1 B_1$ и $A_2 B_2$ соответственно. Докажите, что $\vec{M_1 M_2} = \frac{1}{2}(\vec{A_1 A_2} + \vec{B_1 B_2})$.

Для доказательства введем в рассмотрение произвольную точку $O$ в пространстве и будем работать с радиус-векторами точек относительно этого начала. Радиус-вектор точки $X$ будем обозначать как $\overrightarrow{OX}$.

По условию, точка $M_1$ является серединой отрезка $A_1B_1$. По формуле радиус-вектора середины отрезка имеем:

$\overrightarrow{OM_1} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OB_1})$

Аналогично, точка $M_2$ является серединой отрезка $A_2B_2$. Для нее справедливо равенство:

$\overrightarrow{OM_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OB_2})$

Теперь выразим искомый вектор $\overrightarrow{M_1M_2}$ через радиус-векторы его начала и конца:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \overrightarrow{OM_2} - \overrightarrow{OM_1}$

Подставим в это равенство полученные выше выражения для $\overrightarrow{OM_1}$ и $\overrightarrow{OM_2}$:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OB_2}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_1} + \overrightarrow{OB_1})$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA_2} + \overrightarrow{OB_2} - \overrightarrow{OA_1} - \overrightarrow{OB_1})$

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы получить векторы, о которых идет речь в доказываемом равенстве:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}((\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1}) + (\overrightarrow{OB_2} - \overrightarrow{OB_1}))$

По определению разности векторов, имеем:

$\overrightarrow{OA_2} - \overrightarrow{OA_1} = \overrightarrow{A_1A_2}$

$\overrightarrow{OB_2} - \overrightarrow{OB_1} = \overrightarrow{B_1B_2}$

Подставив эти выражения в предыдущую формулу, получаем окончательный результат:

$\overrightarrow{M_1M_2} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{B_1B_2})$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.