Страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

654. Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную данному отрезку $AB$.

Для решения этой задачи на построение, разобьем его на несколько этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, а также отрезок $AB$. Нам необходимо построить хорду $CD$ этой окружности так, чтобы выполнялись два условия: $CD \parallel AB$ и $|CD| = |AB|$.

Из свойств окружности известно, что равные хорды находятся на равном расстоянии от центра. Следовательно, если мы найдем расстояние от центра $O$ до искомой хорды $CD$, мы сможем определить ее положение. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $OC$, половиной хорды (пусть $M$ — середина $CD$) и отрезком $OM$, соединяющим центр с серединой хорды. В этом треугольнике $OC$ — гипотенуза ($R$), $CM$ — катет ($|CD|/2 = |AB|/2$), а $OM$ — второй катет ($d$). По теореме Пифагора, $d = |OM| = \sqrt{R^2 - (|CD|/2)^2} = \sqrt{R^2 - (|AB|/2)^2}$. Таким образом, расстояние от центра до хорды зависит только от ее длины.

Также известно, что все хорды, параллельные данной прямой (в нашем случае, прямой $AB$), имеют свои середины на диаметре, перпендикулярном этой прямой. Таким образом, середина искомой хорды $CD$ должна лежать на прямой, проходящей через центр $O$ и перпендикулярной $AB$.

Совместив эти два факта, мы можем составить план построения:
1. Найти расстояние $d$ от центра до хорды длиной $|AB|$.
2. Провести через центр $O$ прямую, перпендикулярную $AB$.
3. На этой прямой отложить от точки $O$ расстояние $d$, получив середину искомой хорды.
4. Через полученную точку провести прямую, параллельную $AB$. Ее пересечение с окружностью и даст искомую хорду.

Построение

Пусть дана окружность с центром $O$ и отрезок $AB$.

1. Для нахождения расстояния $d$ построим вспомогательную хорду, равную $AB$. Выберем на окружности произвольную точку $A'$ и построим окружность с центром в $A'$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$. Точка пересечения этой окружности с данной окружностью даст нам точку $B'$. Хорда $A'B'$ равна отрезку $AB$.
2. Найдем середину хорды $A'B'$ (например, построив серединный перпендикуляр к ней) и обозначим ее $M'$. Длина отрезка $OM'$ и есть искомое расстояние $d$.
3. Теперь найдем прямую, на которой будет лежать середина искомой хорды. Для этого через центр окружности $O$ проведем прямую $l$, перпендикулярную прямой, содержащей отрезок $AB$.
4. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $d = |OM'|$. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках (или в одной, если $d=0$), назовем их $M_1$ и $M_2$.
5. Через точку $M_1$ проведем прямую $c_1$, перпендикулярную прямой $l$. Так как $l \perp AB$, то $c_1 \parallel AB$. Прямая $c_1$ пересечет исходную окружность в точках $C$ и $D$.
6. Аналогично через точку $M_2$ проведем прямую $c_2$, перпендикулярную прямой $l$. Она также будет параллельна $AB$ и пересечет окружность в точках $E$ и $F$.

Хорды $CD$ и $EF$ являются искомыми.

Доказательство

Рассмотрим построенную хорду $CD$. По построению, прямая $CD$ (прямая $c_1$) перпендикулярна прямой $l$. Прямая, содержащая отрезок $AB$, также перпендикулярна $l$. Следовательно, $CD \parallel AB$. Первое условие выполнено.

Расстояние от центра $O$ до хорды $CD$ равно $|OM_1|$. По построению, $|OM_1| = d = |OM'|$. Расстояние от центра $O$ до вспомогательной хорды $A'B'$ равно $|OM'|$. Так как хорды $CD$ и $A'B'$ равноудалены от центра окружности, их длины равны: $|CD| = |A'B'|$.

По построению, длина хорды $A'B'$ была сделана равной длине отрезка $AB$. Таким образом, $|CD| = |AB|$. Второе условие также выполнено. Аналогичное доказательство справедливо и для хорды $EF$.

Исследование

Задача имеет решение не всегда. Решение существует только в том случае, если длина отрезка $AB$ не превышает диаметр окружности, то есть $|AB| \le 2R$.

• Если $|AB| > 2R$, то построить хорду такой длины невозможно. В этом случае $R^2 - (|AB|/2)^2 < 0$, и расстояние $d$ не является действительным числом. Задача не имеет решений.
• Если $|AB| = 2R$, то есть длина отрезка равна диаметру, то расстояние $d=0$. Точки $M_1$ и $M_2$ совпадают с центром $O$. Через $O$ проводится единственная прямая, параллельная $AB$, которая образует хорду-диаметр. Задача имеет одно решение.
• Если $|AB| < 2R$, то расстояние $d$ — положительное число, меньшее $R$. В этом случае существуют две точки $M_1$ и $M_2$, симметричные относительно центра $O$. Это приводит к построению двух искомых хорд. Задача имеет два решения.

Ответ: Построение выполнено и описано выше. Задача имеет два решения, если $|AB| < 2R$; одно решение, если $|AB| = 2R$; и не имеет решений, если $|AB| > 2R$.

655. Постройте четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно непараллельны, по четырём углам и двум противоположным сторонам.

Решение

Пусть искомый четырёхугольник — $ABCD$, у которого заданы углы $∠A=\alpha, ∠B=\beta, ∠C=\gamma, ∠D=\delta$ и длины противоположных сторон $AB=a, CD=c$. Известно, что сумма углов четырёхугольника равна $360°$, то есть $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 360°$. По условию, противоположные стороны попарно непараллельны, что означает, что $AB \not\parallel CD$ и $BC \not\parallel AD$. Это эквивалентно условиям $\beta+\gamma \neq 180°$ и $\alpha+\beta \neq 180°$.

Метод построения основан на идее продления одной из пар непротивоположных сторон до их пересечения.

1. Анализ

Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$. Так как они не параллельны, они пересекаются в некоторой точке $P$. В зависимости от величин углов, возможно два случая расположения вершин на лучах, выходящих из точки $P$:

Случай 1: $\alpha+\beta < 180°$ (и, следовательно, $\gamma+\delta > 180°$).
В этом случае пересекаются лучи $DA$ и $CB$. Точка $A$ лежит между $P$ и $D$, а точка $B$ — между $P$ и $C$.Рассмотрим два треугольника, $\triangle PAB$ и $\triangle PDC$, с общей вершиной $P$.

• В $\triangle PAB$:
  • $∠PAB = ∠DAB = \alpha$
  • $∠PBA = ∠CBA = \beta$
  • $∠APB = 180° - (\alpha+\beta)$
  • Сторона $AB = a$
• В $\triangle PDC$:
  • $∠PDC = 180° - ∠ADC = 180° - \delta$
  • $∠PCD = 180° - ∠BCD = 180° - \gamma$
  • $∠DPC = 180° - ((180°-\delta) + (180°-\gamma)) = \delta+\gamma-180°$
  • Сторона $CD = c$

Углы $\angle APB$ и $\angle DPC$ равны, так как $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360° \implies 180° - (\alpha+\beta) = \delta+\gamma-180°$.

Применим теорему синусов для обоих треугольников, чтобы выразить длины сторон, выходящих из вершины $P$.
В $\triangle PAB$:
$\frac{PA}{\sin(\beta)} = \frac{PB}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(180° - (\alpha+\beta))} = \frac{a}{\sin(\alpha+\beta)}$
Отсюда:
$PA = a \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}$ и $PB = a \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)}$
В $\triangle PDC$:
$\frac{PD}{\sin(180°-\gamma)} = \frac{PC}{\sin(180°-\delta)} = \frac{c}{\sin(\delta+\gamma-180°)}$
Так как $\sin(180°-x)=\sin(x)$ и $\sin(\delta+\gamma-180°) = \sin(180° - (\alpha+\beta)) = \sin(\alpha+\beta)$, получаем:
$PD = c \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha+\beta)}$ и $PC = c \frac{\sin(\delta)}{\sin(\alpha+\beta)}$

Таким образом, задача сводится к построению отрезков $PA, PB, PC, PD$ и последующему построению треугольников $\triangle PAB$ и $\triangle PDC$.

Случай 2: $\alpha+\beta > 180°$ (и, следовательно, $\gamma+\delta < 180°$).
В этом случае пересекаются лучи $AD$ и $BC$. Точка $D$ лежит между $P$ и $A$, а точка $C$ — между $P$ и $B$. Анализ аналогичен, и формулы для длин отрезков $PA, PB, PC, PD$ остаются теми же.

2. Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. Предположим, что выполняется условие случая 1: $\alpha+\beta < 180°$.

Шаг 1: Построение вспомогательных отрезков, пропорциональных синусам углов.
Для построения отрезков вида $x = \frac{m \cdot \sin(\phi_1)}{\sin(\phi_2)}$ необходимо сначала построить отрезки, пропорциональные синусам заданных углов.

1. Выберем произвольный отрезок $R$ в качестве единичного.
2. Для каждого необходимого угла $\phi \in \{\alpha, \beta, \gamma, \delta, \alpha+\beta\}$ построим отрезок $s_\phi$, длина которого равна $R\sin(\phi)$. Это можно сделать, построив прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и острым углом $\phi$. Катет, противолежащий этому углу, будет иметь искомую длину.

Шаг 2: Построение длин отрезков $PA, PB, PC, PD$.
Теперь мы можем построить искомые длины, используя метод построения четвёртого пропорционального отрезка ($x = \frac{mn}{p}$). Например, для $PA = a \frac{s_\beta/R}{s_{\alpha+\beta}/R} = \frac{a \cdot s_\beta}{s_{\alpha+\beta}}$:

1. Начертим произвольный угол с вершиной $O$.
2. На одном луче отложим отрезки $OK = s_{\alpha+\beta}$ и $OL = s_\beta$.
3. На другом луче отложим отрезок $OM = a$.
4. Проведём прямую $KM$.
5. Через точку $L$ проведём прямую, параллельную $KM$. Точка её пересечения с лучом $OM$ (пусть это будет $N$) определит отрезок $ON$, длина которого равна $PA$.

Аналогично строятся отрезки $PB, PC$ и $PD$.

Шаг 3: Построение четырёхугольника $ABCD$.

1. Выберем произвольную точку $P$ на плоскости.
2. Построим два луча, исходящих из точки $P$, образующих угол $180° - (\alpha+\beta)$.
3. На одном луче отложим отрезки $PA$ и $PD$ от точки $P$. Для данной конфигурации (случай 1) точка $A$ должна лежать между $P$ и $D$, что возможно только при выполнении условия $PA < PD$. Это накладывает ограничение на исходные данные: $a\sin(\beta) < c\sin(\gamma)$.
4. На втором луче аналогично отложим отрезки $PB$ и $PC$ от точки $P$. Точка $B$ должна лежать между $P$ и $C$, что требует выполнения условия $PB < PC$, или $a\sin(\alpha) < c\sin(\delta)$.
5. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым. Если бы исходные данные соответствовали случаю 2 ($\alpha+\beta > 180°$), порядок точек на лучах был бы $P-D-A$ и $P-C-B$, а условия существования решения изменились бы на $PA > PD$ и $PB > PC$. Если ни одно из условий не выполняется, решения не существует.

Ответ: Построение основано на методе вспомогательных треугольников, которые образуются при продлении одной из пар непротивоположных сторон до их пересечения в точке $P$. С помощью теоремы синусов находятся выражения для длин отрезков от точки $P$ до вершин четырёхугольника. Эти длины строятся с помощью циркуля и линейки (используя построение отрезков, пропорциональных синусам углов, и построение четвёртого пропорционального отрезка), после чего четырёхугольник собирается из двух треугольников с общей вершиной $P$.

656. В каком месте надо построить мост $MN$ через реку, разделяющую два населённых пункта $A$ и $B$ (рис. 162), чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим (берега реки считаем параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам реки)?

Обозначим населенные пункты как точки $A$ и $B$. Берега реки — это две параллельные прямые, назовем их $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $A$ находится на стороне берега $l_1$, а точка $B$ — на стороне берега $l_2$. Мост $MN$ соединяет берега, причем точка $M$ лежит на $l_1$, а точка $N$ — на $l_2$. По условию, мост $MN$ перпендикулярен берегам, следовательно, его длина является постоянной величиной, равной ширине реки. Обозначим ширину реки через $h$.

Мы ищем такое положение моста $MN$, при котором длина пути $AMNB$ будет наименьшей. Длина этого пути складывается из трех отрезков: $L = AM + MN + NB$.

Поскольку длина моста $MN = h$ является константой, минимизация общей длины пути $L$ сводится к минимизации суммы длин $AM + NB$.

Для решения этой задачи применим метод параллельного переноса. Выполним параллельный перенос точки $A$ на вектор, равный вектору $\vec{MN}$. Этот вектор перпендикулярен берегам реки, направлен от берега $l_1$ к берегу $l_2$, и его длина равна ширине реки $h$. Пусть в результате этого переноса точка $A$ перейдет в точку $A'$.

При таком переносе четырехугольник $AMNA'$ является параллелограммом (а так как $AA'$ и $MN$ перпендикулярны $l_1$, то это прямоугольник). Следовательно, длины противоположных сторон равны: $AM = A'N$.

Теперь заменим в сумме $AM + NB$ отрезок $AM$ на равный ему отрезок $A'N$. Получим, что нам нужно минимизировать сумму $A'N + NB$.

Точки $A'$, $N$ и $B$ лежат по одну сторону от реки (на стороне с берегом $l_2$). Сумма длин $A'N + NB$ представляет собой длину ломаной $A'NB$. Кратчайшее расстояние между двумя точками $A'$ и $B$ — это длина прямой, их соединяющей. Поэтому сумма $A'N + NB$ будет минимальной, когда точка $N$ будет лежать на отрезке прямой $A'B$.

Таким образом, искомое положение моста определяется следующим построением. Сначала нужно выполнить параллельный перенос точки $A$ на вектор, перпендикулярный берегам и равный по длине ширине реки, в сторону другого берега. Получим точку $A'$. Затем следует соединить точку $A'$ с точкой $B$ отрезком прямой. Точка $N$, в которой этот отрезок пересечет дальний от $A$ берег ($l_2$), и будет одним концом моста. Другой конец моста, точка $M$, находится на ближнем к $A$ берегу ($l_1$) так, что отрезок $MN$ перпендикулярен берегам.

Ответ: Чтобы найти место для моста, нужно сместить точку $A$ на ширину реки перпендикулярно берегу в сторону другого берега, получив точку $A'$. Затем соединить точку $A'$ с точкой $B$. Точка $N$, где этот отрезок пересечет дальний берег, и точка $M$, находящаяся на ближнем берегу напротив $N$ (так что $MN$ перпендикулярен берегам), определяют искомое положение моста.

657. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная противоположной стороне. Чему равен периметр образовавшегося треугольника, если периметр данного треугольника равен 18 см?

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Обозначим длины его сторон как $a, b, c$, где $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Периметр этого треугольника равен $P_{ABC} = a+b+c = 18$ см.

Через каждую вершину треугольника $A, B, C$ проведем прямую, параллельную противоположной стороне.

• Через вершину $A$ проведем прямую $l_A$, параллельную стороне $BC$.
• Через вершину $B$ проведем прямую $l_B$, параллельную стороне $AC$.
• Через вершину $C$ проведем прямую $l_C$, параллельную стороне $AB$.

Эти три прямые пересекаются и образуют новый, больший треугольник. Обозначим его вершины как $A'$, $B'$, $C'$, где:

• $A' = l_B \cap l_C$
• $B' = l_A \cap l_C$
• $C' = l_A \cap l_B$

Рассмотрим четырехугольники, образованные сторонами исходного треугольника и построенными прямыми.

1. Четырехугольник $ACBC'$. По построению, прямая $l_A$ (содержащая отрезок $AC'$) параллельна стороне $BC$, а прямая $l_B$ (содержащая отрезок $BC'$) параллельна стороне $AC$. Так как у четырехугольника $ACBC'$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AC' \parallel BC$ и $AC \parallel BC'$), он является параллелограммом. Из этого следует, что его противолежащие стороны равны: $AC' = BC = a$ и $BC' = AC = b$.

2. Аналогично рассмотрим четырехугольник $ABCB'$. По построению, $AB' \parallel BC$ и $CB' \parallel AB$. Следовательно, $ABCB'$ — это параллелограмм. Его противолежащие стороны равны: $AB' = BC = a$ и $CB' = AB = c$.

3. Рассмотрим четырехугольник $BACA'$. По построению, $BA' \parallel AC$ и $CA' \parallel AB$. Следовательно, $BACA'$ — это параллелограмм. Его противолежащие стороны равны: $BA' = AC = b$ и $CA' = AB = c$.

Теперь найдем длины сторон образовавшегося треугольника $\triangle A'B'C'$.

Сторона $B'C'$ нового треугольника лежит на прямой $l_A$ и состоит из отрезков $B'A$ и $AC'$. Из параллелограмма $ABCB'$ мы знаем, что $B'A = BC = a$. Из параллелограмма $ACBC'$ мы знаем, что $AC' = BC = a$. Таким образом, длина стороны $B'C'$ равна:$B'C' = B'A + AC' = a + a = 2a$.

Сторона $A'C'$ нового треугольника лежит на прямой $l_B$ и состоит из отрезков $A'B$ и $BC'$. Из параллелограмма $BACA'$ мы знаем, что $A'B = AC = b$. Из параллелограмма $ACBC'$ мы знаем, что $BC' = AC = b$. Таким образом, длина стороны $A'C'$ равна:$A'C' = A'B + BC' = b + b = 2b$.

Сторона $A'B'$ нового треугольника лежит на прямой $l_C$ и состоит из отрезков $A'C$ и $CB'$. Из параллелограмма $BACA'$ мы знаем, что $A'C = AB = c$. Из параллелограмма $ABCB'$ мы знаем, что $CB' = AB = c$. Таким образом, длина стороны $A'B'$ равна:$A'B' = A'C + CB' = c + c = 2c$.

Итак, каждая сторона нового треугольника $\triangle A'B'C'$ в два раза длиннее соответствующей параллельной ей стороны исходного треугольника $\triangle ABC$.

Периметр образовавшегося треугольника $P_{A'B'C'}$ равен сумме длин его сторон:$P_{A'B'C'} = A'B' + B'C' + A'C' = 2c + 2a + 2b = 2(a+b+c)$.

Мы знаем, что периметр исходного треугольника $P_{ABC} = a+b+c = 18$ см. Подставим это значение в формулу для периметра нового треугольника:$P_{A'B'C'} = 2 \cdot P_{ABC} = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.

658. Докажите, что четырёхугольник с вершинами $A (-3; -4)$, $B (0; 3)$, $C (7; 6)$ и $D (4; -1)$ является ромбом, и найдите его площадь.

Доказательство, что четырёхугольник является ромбом

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны имеют одинаковую длину. Длину отрезка между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости можно найти по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Даны координаты вершин: A(-3; -4), B(0; 3), C(7; 6), D(4; -1).

Вычислим длины каждой стороны четырёхугольника:

1. Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (3 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

2. Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(7 - 0)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

3. Длина стороны CD:

$CD = \sqrt{(4 - 7)^2 + (-1 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

4. Длина стороны DA:

$DA = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

Поскольку $AB = BC = CD = DA = \sqrt{58}$, все стороны четырёхугольника равны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является ромбом.

Ответ: Утверждение, что четырёхугольник является ромбом, доказано.

Нахождение площади ромба

Площадь ромба можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$. Диагоналями данного ромба являются отрезки AC и BD.

1. Найдём длину диагонали AC:

$AC = \sqrt{(7 - (-3))^2 + (6 - (-4))^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$.

2. Найдём длину диагонали BD:

$BD = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

3. Вычислим площадь ромба, подставив длины диагоналей в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 2 = 40$.

Ответ: Площадь ромба равна 40.

659. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Тогда $AB$ — меньшая боковая сторона и высота трапеции, а $CD$ — большая боковая сторона. $AD$ и $BC$ — основания трапеции.

Пусть в трапецию вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Высота трапеции, $h$, равна диаметру вписанной окружности: $h = AB = 2r$.

Пусть точка касания $K$ на стороне $CD$ делит её на отрезки $CK = 4$ см и $KD = 25$ см. Тогда длина стороны $CD$ равна:

$CD = CK + KD = 4 + 25 = 29$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Поскольку центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов, отрезки $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $\angle BCD$ и $\angle ADC$ соответственно.

Так как $BC \parallel AD$, сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$:

$\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$

В треугольнике $\triangle COD$ сумма углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ равна:

$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Следовательно, третий угол треугольника $\triangle COD$ равен:

$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, треугольник $\triangle COD$ — прямоугольный.

Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому $OK \perp CD$. Значит, $OK$ — высота в прямоугольном треугольнике $\triangle COD$, проведенная к гипотенузе $CD$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$OK^2 = CK \cdot KD$

Так как $OK = r$, получаем:

$r^2 = 4 \cdot 25 = 100$

$r = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем высоту трапеции:

$h = 2r = 2 \cdot 10 = 20$ см.

В трапецию можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:

$AD + BC = AB + CD$

$AD + BC = h + CD = 20 + 29 = 49$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{49}{2} \cdot 20 = 49 \cdot 10 = 490$ см$^2$.

Ответ: 490 см$^2$.