Номер 655, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

655. Постройте четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно непараллельны, по четырём углам и двум противоположным сторонам.

Решение

Пусть искомый четырёхугольник — $ABCD$, у которого заданы углы $∠A=\alpha, ∠B=\beta, ∠C=\gamma, ∠D=\delta$ и длины противоположных сторон $AB=a, CD=c$. Известно, что сумма углов четырёхугольника равна $360°$, то есть $\alpha+\beta+\gamma+\delta = 360°$. По условию, противоположные стороны попарно непараллельны, что означает, что $AB \not\parallel CD$ и $BC \not\parallel AD$. Это эквивалентно условиям $\beta+\gamma \neq 180°$ и $\alpha+\beta \neq 180°$.

Метод построения основан на идее продления одной из пар непротивоположных сторон до их пересечения.

1. Анализ

Рассмотрим прямые $AD$ и $BC$. Так как они не параллельны, они пересекаются в некоторой точке $P$. В зависимости от величин углов, возможно два случая расположения вершин на лучах, выходящих из точки $P$:

Случай 1: $\alpha+\beta < 180°$ (и, следовательно, $\gamma+\delta > 180°$).
В этом случае пересекаются лучи $DA$ и $CB$. Точка $A$ лежит между $P$ и $D$, а точка $B$ — между $P$ и $C$.Рассмотрим два треугольника, $\triangle PAB$ и $\triangle PDC$, с общей вершиной $P$.

• В $\triangle PAB$:
  • $∠PAB = ∠DAB = \alpha$
  • $∠PBA = ∠CBA = \beta$
  • $∠APB = 180° - (\alpha+\beta)$
  • Сторона $AB = a$
• В $\triangle PDC$:
  • $∠PDC = 180° - ∠ADC = 180° - \delta$
  • $∠PCD = 180° - ∠BCD = 180° - \gamma$
  • $∠DPC = 180° - ((180°-\delta) + (180°-\gamma)) = \delta+\gamma-180°$
  • Сторона $CD = c$

Углы $\angle APB$ и $\angle DPC$ равны, так как $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360° \implies 180° - (\alpha+\beta) = \delta+\gamma-180°$.

Применим теорему синусов для обоих треугольников, чтобы выразить длины сторон, выходящих из вершины $P$.
В $\triangle PAB$:
$\frac{PA}{\sin(\beta)} = \frac{PB}{\sin(\alpha)} = \frac{a}{\sin(180° - (\alpha+\beta))} = \frac{a}{\sin(\alpha+\beta)}$
Отсюда:
$PA = a \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}$ и $PB = a \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\alpha+\beta)}$
В $\triangle PDC$:
$\frac{PD}{\sin(180°-\gamma)} = \frac{PC}{\sin(180°-\delta)} = \frac{c}{\sin(\delta+\gamma-180°)}$
Так как $\sin(180°-x)=\sin(x)$ и $\sin(\delta+\gamma-180°) = \sin(180° - (\alpha+\beta)) = \sin(\alpha+\beta)$, получаем:
$PD = c \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha+\beta)}$ и $PC = c \frac{\sin(\delta)}{\sin(\alpha+\beta)}$

Таким образом, задача сводится к построению отрезков $PA, PB, PC, PD$ и последующему построению треугольников $\triangle PAB$ и $\triangle PDC$.

Случай 2: $\alpha+\beta > 180°$ (и, следовательно, $\gamma+\delta < 180°$).
В этом случае пересекаются лучи $AD$ и $BC$. Точка $D$ лежит между $P$ и $A$, а точка $C$ — между $P$ и $B$. Анализ аналогичен, и формулы для длин отрезков $PA, PB, PC, PD$ остаются теми же.

2. Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки. Предположим, что выполняется условие случая 1: $\alpha+\beta < 180°$.

Шаг 1: Построение вспомогательных отрезков, пропорциональных синусам углов.
Для построения отрезков вида $x = \frac{m \cdot \sin(\phi_1)}{\sin(\phi_2)}$ необходимо сначала построить отрезки, пропорциональные синусам заданных углов.

1. Выберем произвольный отрезок $R$ в качестве единичного.
2. Для каждого необходимого угла $\phi \in \{\alpha, \beta, \gamma, \delta, \alpha+\beta\}$ построим отрезок $s_\phi$, длина которого равна $R\sin(\phi)$. Это можно сделать, построив прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ и острым углом $\phi$. Катет, противолежащий этому углу, будет иметь искомую длину.

Шаг 2: Построение длин отрезков $PA, PB, PC, PD$.
Теперь мы можем построить искомые длины, используя метод построения четвёртого пропорционального отрезка ($x = \frac{mn}{p}$). Например, для $PA = a \frac{s_\beta/R}{s_{\alpha+\beta}/R} = \frac{a \cdot s_\beta}{s_{\alpha+\beta}}$:

1. Начертим произвольный угол с вершиной $O$.
2. На одном луче отложим отрезки $OK = s_{\alpha+\beta}$ и $OL = s_\beta$.
3. На другом луче отложим отрезок $OM = a$.
4. Проведём прямую $KM$.
5. Через точку $L$ проведём прямую, параллельную $KM$. Точка её пересечения с лучом $OM$ (пусть это будет $N$) определит отрезок $ON$, длина которого равна $PA$.

Аналогично строятся отрезки $PB, PC$ и $PD$.

Шаг 3: Построение четырёхугольника $ABCD$.

1. Выберем произвольную точку $P$ на плоскости.
2. Построим два луча, исходящих из точки $P$, образующих угол $180° - (\alpha+\beta)$.
3. На одном луче отложим отрезки $PA$ и $PD$ от точки $P$. Для данной конфигурации (случай 1) точка $A$ должна лежать между $P$ и $D$, что возможно только при выполнении условия $PA < PD$. Это накладывает ограничение на исходные данные: $a\sin(\beta) < c\sin(\gamma)$.
4. На втором луче аналогично отложим отрезки $PB$ и $PC$ от точки $P$. Точка $B$ должна лежать между $P$ и $C$, что требует выполнения условия $PB < PC$, или $a\sin(\alpha) < c\sin(\delta)$.
5. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$.

Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомым. Если бы исходные данные соответствовали случаю 2 ($\alpha+\beta > 180°$), порядок точек на лучах был бы $P-D-A$ и $P-C-B$, а условия существования решения изменились бы на $PA > PD$ и $PB > PC$. Если ни одно из условий не выполняется, решения не существует.

Ответ: Построение основано на методе вспомогательных треугольников, которые образуются при продлении одной из пар непротивоположных сторон до их пересечения в точке $P$. С помощью теоремы синусов находятся выражения для длин отрезков от точки $P$ до вершин четырёхугольника. Эти длины строятся с помощью циркуля и линейки (используя построение отрезков, пропорциональных синусам углов, и построение четвёртого пропорционального отрезка), после чего четырёхугольник собирается из двух треугольников с общей вершиной $P$.