Номер 648, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

648. Точки $A (1; 3)$, $B (2; 6)$, $C (-3; 1)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ является точка $O_1 (-2; -4)$. Найдите образы точек $A, B, C$ и $D$ при таком параллельном переносе.

Сначала найдем координаты точки $O$ - точки пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Так как диагонали в параллелограмме делятся точкой пересечения пополам, точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Используя координаты точек $A(1; 3)$ и $C(-3; 1)$, находим координаты точки $O$ по формулам середины отрезка:
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, точка $O$ имеет координаты $(-1; 2)$.

По условию, образом точки $O(-1; 2)$ при параллельном переносе является точка $O_1(-2; -4)$. Параллельный перенос задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$, где $(a; b)$ - это вектор переноса. Найдем его координаты:
$a = x_{O_1} - x_O = -2 - (-1) = -1$
$b = y_{O_1} - y_O = -4 - 2 = -6$
Следовательно, формулы данного параллельного переноса: $x' = x - 1$, $y' = y - 6$.

Для нахождения образа точки $D$ необходимо сначала найти ее первоначальные координаты. Точка $O(-1; 2)$ также является серединой диагонали $BD$. Зная координаты точки $B(2; 6)$, найдем координаты $D(x_D; y_D)$:
$x_D = 2x_O - x_B = 2 \cdot (-1) - 2 = -2 - 2 = -4$
$y_D = 2y_O - y_B = 2 \cdot 2 - 6 = 4 - 6 = -2$
Таким образом, вершина $D$ имеет координаты $(-4; -2)$.

Теперь, зная координаты всех вершин и формулы параллельного переноса, найдем образы точек $A, B, C$ и $D$. Пусть $A_1, B_1, C_1, D_1$ - искомые образы.

Образ точки A(1; 3)
Координаты образа $A_1$ вычисляются как $(1 - 1; 3 - 6)$.
Ответ: $A_1(0; -3)$.

Образ точки B(2; 6)
Координаты образа $B_1$ вычисляются как $(2 - 1; 6 - 6)$.
Ответ: $B_1(1; 0)$.

Образ точки C(-3; 1)
Координаты образа $C_1$ вычисляются как $(-3 - 1; 1 - 6)$.
Ответ: $C_1(-4; -5)$.

Образ точки D(-4; -2)
Координаты образа $D_1$ вычисляются как $(-4 - 1; -2 - 6)$.
Ответ: $D_1(-5; -8)$.