Номер 646, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

646. При преобразовании фигуры $F$ её образом является эта же фигура $F$.

Верно ли, что это преобразование является тождественным?

Нет, это утверждение неверно.

Тождественное преобразование — это преобразование, при котором каждая точка фигуры отображается на саму себя. То есть, для любой точки $P$ фигуры $F$, её образ $P'$ совпадает с точкой $P$.

Условие, что при преобразовании фигуры $F$ её образом является эта же фигура $F$, означает, что множество всех точек фигуры после преобразования совпадает с исходным множеством точек. Однако это не означает, что каждая отдельная точка осталась на своём месте. Преобразования, которые переводят фигуру в себя, называются её преобразованиями симметрии. Тождественное преобразование является лишь одним из них, но существуют и другие.

Рассмотрим примеры нетождественных преобразований, которые отображают фигуру на себя.

Осевая симметрия (отражение)
Пусть фигура $F$ — это равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Преобразование — отражение относительно его оси симметрии (высоты, проведённой к основанию). При таком преобразовании треугольник как целое отображается на себя, но вершина $A$ переходит в вершину $C$, а вершина $C$ — в вершину $A$. Поскольку нашлись точки, которые не перешли в самих себя ($A \neq C$), преобразование не является тождественным.

Поворот
Пусть фигура $F$ — это квадрат $ABCD$ с центром в точке $O$. Преобразование — поворот вокруг центра $O$ на угол $90^\circ$. При этом повороте квадрат отображается на себя, но вершина $A$ переходит в $B$, $B$ — в $C$, $C$ — в $D$ и $D$ — в $A$. Ни одна из вершин не осталась на месте, следовательно, преобразование не является тождественным.

Таким образом, если фигура обладает каким-либо видом симметрии (отличным от тождественной), то соответствующее преобразование симметрии будет отображать фигуру на себя, не будучи при этом тождественным.

Ответ: Нет, неверно.