Номер 651, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

651. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Для построения трапеции по заданным основаниям $a$ и $b$ и диагоналям $d_1$ и $d_2$ воспользуемся методом параллельного переноса.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомая трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = a$, $BC = b$, и диагоналями $AC = d_1$, $BD = d_2$. Предположим, для определённости, что $a > b$. Выполним параллельный перенос диагонали $BD$ на вектор $\vec{BC}$. При этом точка $B$ перейдет в точку $C$, а точка $D$ — в некоторую точку $K$. Тогда четырехугольник $BCKD$ является параллелограммом. Из этого следует, что $CK \parallel BD$ и $CK = BD = d_2$. Точка $K$ будет лежать на продолжении основания $AD$, так как $\vec{DK} = \vec{BC}$ и $BC \parallel AD$. Длина отрезка $AK$ будет равна сумме длин оснований: $AK = AD + DK = AD + BC = a + b$. Рассмотрим треугольник $ACK$. Мы знаем длины всех его трех сторон: $AC = d_1$, $CK = d_2$ и $AK = a + b$. Такой треугольник можно построить по трем сторонам. Построив его, мы сможем найти вершины искомой трапеции.

Построение

1. На произвольной прямой отложим отрезок $AK$, длина которого равна сумме длин оснований $a+b$.
2. Построим треугольник $ACK$ по трем сторонам: $AK = a+b$, $AC = d_1$, $CK = d_2$. Для этого:
   • Из точки $A$ как из центра проведем окружность радиусом $d_1$.
   • Из точки $K$ как из центра проведем окружность радиусом $d_2$.
   • Точка $C$ — одна из точек пересечения этих окружностей.
3. На отрезке $AK$ от точки $A$ отложим отрезок $AD$, равный большему основанию $a$. Точка $D$ — одна из вершин трапеции. (При этом $DK = AK - AD = (a+b) - a = b$).
4. Теперь найдем четвертую вершину $B$. Для этого можно построить параллелограмм $BCKD$:
   • Через точку $C$ проведем прямую, параллельную прямой $AK$.
   • Через точку $D$ проведем прямую, параллельную отрезку $CK$.
   • Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой вершиной $B$.
5. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.
1. По построению прямая $BC$ параллельна прямой $AK$, на которой лежит отрезок $AD$. Следовательно, $BC \parallel AD$, и $ABCD$ — трапеция.
2. Длина основания $AD$ равна $a$ по построению.
3. Четырехугольник $BCKD$ по построению является параллелограммом (его противоположные стороны $BC$ и $DK$, а также $BD$ и $CK$ попарно параллельны). Следовательно, $BC = DK$. Так как $AK = a+b$ и $AD = a$, то $DK = AK - AD = b$. Таким образом, $BC = b$.
4. Длина диагонали $AC$ равна $d_1$, так как это сторона построенного треугольника $ACK$.
5. Так как $BCKD$ — параллелограмм, то $BD = CK$. Длина $CK$ равна $d_2$, так как это сторона построенного треугольника $ACK$. Следовательно, $BD = d_2$.
Таким образом, построенная трапеция $ABCD$ имеет заданные длины оснований и диагоналей.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построить треугольник $ACK$ со сторонами $a+b$, $d_1$ и $d_2$. Это возможно, если для этих длин выполняется неравенство треугольника:
$d_1 + d_2 > a+b$
$d_1 + (a+b) > d_2$
$d_2 + (a+b) > d_1$
Поскольку $a, b, d_1, d_2$ — длины отрезков и, следовательно, положительные величины, вторые два неравенства выполняются всегда. Таким образом, единственным условием для существования решения является то, что сумма длин диагоналей должна быть больше суммы длин оснований.
Если $d_1 + d_2 > a+b$, то задача имеет единственное решение (с точностью до симметрии относительно прямой, содержащей большее основание, так как окружности в пункте 2 построения пересекаются в двух точках). Если $d_1 + d_2 \le a+b$, то задача не имеет решений.

Ответ: Построение, описанное выше, позволяет получить искомую трапецию при условии, что сумма длин диагоналей больше суммы длин оснований.