Номер 656, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

656. В каком месте надо построить мост $MN$ через реку, разделяющую два населённых пункта $A$ и $B$ (рис. 162), чтобы путь $AMNB$ был кратчайшим (берега реки считаем параллельными прямыми, мост перпендикулярен берегам реки)?

Обозначим населенные пункты как точки $A$ и $B$. Берега реки — это две параллельные прямые, назовем их $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $A$ находится на стороне берега $l_1$, а точка $B$ — на стороне берега $l_2$. Мост $MN$ соединяет берега, причем точка $M$ лежит на $l_1$, а точка $N$ — на $l_2$. По условию, мост $MN$ перпендикулярен берегам, следовательно, его длина является постоянной величиной, равной ширине реки. Обозначим ширину реки через $h$.

Мы ищем такое положение моста $MN$, при котором длина пути $AMNB$ будет наименьшей. Длина этого пути складывается из трех отрезков: $L = AM + MN + NB$.

Поскольку длина моста $MN = h$ является константой, минимизация общей длины пути $L$ сводится к минимизации суммы длин $AM + NB$.

Для решения этой задачи применим метод параллельного переноса. Выполним параллельный перенос точки $A$ на вектор, равный вектору $\vec{MN}$. Этот вектор перпендикулярен берегам реки, направлен от берега $l_1$ к берегу $l_2$, и его длина равна ширине реки $h$. Пусть в результате этого переноса точка $A$ перейдет в точку $A'$.

При таком переносе четырехугольник $AMNA'$ является параллелограммом (а так как $AA'$ и $MN$ перпендикулярны $l_1$, то это прямоугольник). Следовательно, длины противоположных сторон равны: $AM = A'N$.

Теперь заменим в сумме $AM + NB$ отрезок $AM$ на равный ему отрезок $A'N$. Получим, что нам нужно минимизировать сумму $A'N + NB$.

Точки $A'$, $N$ и $B$ лежат по одну сторону от реки (на стороне с берегом $l_2$). Сумма длин $A'N + NB$ представляет собой длину ломаной $A'NB$. Кратчайшее расстояние между двумя точками $A'$ и $B$ — это длина прямой, их соединяющей. Поэтому сумма $A'N + NB$ будет минимальной, когда точка $N$ будет лежать на отрезке прямой $A'B$.

Таким образом, искомое положение моста определяется следующим построением. Сначала нужно выполнить параллельный перенос точки $A$ на вектор, перпендикулярный берегам и равный по длине ширине реки, в сторону другого берега. Получим точку $A'$. Затем следует соединить точку $A'$ с точкой $B$ отрезком прямой. Точка $N$, в которой этот отрезок пересечет дальний от $A$ берег ($l_2$), и будет одним концом моста. Другой конец моста, точка $M$, находится на ближнем к $A$ берегу ($l_1$) так, что отрезок $MN$ перпендикулярен берегам.

Ответ: Чтобы найти место для моста, нужно сместить точку $A$ на ширину реки перпендикулярно берегу в сторону другого берега, получив точку $A'$. Затем соединить точку $A'$ с точкой $B$. Точка $N$, где этот отрезок пересечет дальний берег, и точка $M$, находящаяся на ближнем берегу напротив $N$ (так что $MN$ перпендикулярен берегам), определяют искомое положение моста.