Номер 657, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

657. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная противоположной стороне. Чему равен периметр образовавшегося треугольника, если периметр данного треугольника равен 18 см?

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Обозначим длины его сторон как $a, b, c$, где $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Периметр этого треугольника равен $P_{ABC} = a+b+c = 18$ см.

Через каждую вершину треугольника $A, B, C$ проведем прямую, параллельную противоположной стороне.

• Через вершину $A$ проведем прямую $l_A$, параллельную стороне $BC$.
• Через вершину $B$ проведем прямую $l_B$, параллельную стороне $AC$.
• Через вершину $C$ проведем прямую $l_C$, параллельную стороне $AB$.

Эти три прямые пересекаются и образуют новый, больший треугольник. Обозначим его вершины как $A'$, $B'$, $C'$, где:

• $A' = l_B \cap l_C$
• $B' = l_A \cap l_C$
• $C' = l_A \cap l_B$

Рассмотрим четырехугольники, образованные сторонами исходного треугольника и построенными прямыми.

1. Четырехугольник $ACBC'$. По построению, прямая $l_A$ (содержащая отрезок $AC'$) параллельна стороне $BC$, а прямая $l_B$ (содержащая отрезок $BC'$) параллельна стороне $AC$. Так как у четырехугольника $ACBC'$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AC' \parallel BC$ и $AC \parallel BC'$), он является параллелограммом. Из этого следует, что его противолежащие стороны равны: $AC' = BC = a$ и $BC' = AC = b$.

2. Аналогично рассмотрим четырехугольник $ABCB'$. По построению, $AB' \parallel BC$ и $CB' \parallel AB$. Следовательно, $ABCB'$ — это параллелограмм. Его противолежащие стороны равны: $AB' = BC = a$ и $CB' = AB = c$.

3. Рассмотрим четырехугольник $BACA'$. По построению, $BA' \parallel AC$ и $CA' \parallel AB$. Следовательно, $BACA'$ — это параллелограмм. Его противолежащие стороны равны: $BA' = AC = b$ и $CA' = AB = c$.

Теперь найдем длины сторон образовавшегося треугольника $\triangle A'B'C'$.

Сторона $B'C'$ нового треугольника лежит на прямой $l_A$ и состоит из отрезков $B'A$ и $AC'$. Из параллелограмма $ABCB'$ мы знаем, что $B'A = BC = a$. Из параллелограмма $ACBC'$ мы знаем, что $AC' = BC = a$. Таким образом, длина стороны $B'C'$ равна:$B'C' = B'A + AC' = a + a = 2a$.

Сторона $A'C'$ нового треугольника лежит на прямой $l_B$ и состоит из отрезков $A'B$ и $BC'$. Из параллелограмма $BACA'$ мы знаем, что $A'B = AC = b$. Из параллелограмма $ACBC'$ мы знаем, что $BC' = AC = b$. Таким образом, длина стороны $A'C'$ равна:$A'C' = A'B + BC' = b + b = 2b$.

Сторона $A'B'$ нового треугольника лежит на прямой $l_C$ и состоит из отрезков $A'C$ и $CB'$. Из параллелограмма $BACA'$ мы знаем, что $A'C = AB = c$. Из параллелограмма $ABCB'$ мы знаем, что $CB' = AB = c$. Таким образом, длина стороны $A'B'$ равна:$A'B' = A'C + CB' = c + c = 2c$.

Итак, каждая сторона нового треугольника $\triangle A'B'C'$ в два раза длиннее соответствующей параллельной ей стороны исходного треугольника $\triangle ABC$.

Периметр образовавшегося треугольника $P_{A'B'C'}$ равен сумме длин его сторон:$P_{A'B'C'} = A'B' + B'C' + A'C' = 2c + 2a + 2b = 2(a+b+c)$.

Мы знаем, что периметр исходного треугольника $P_{ABC} = a+b+c = 18$ см. Подставим это значение в формулу для периметра нового треугольника:$P_{A'B'C'} = 2 \cdot P_{ABC} = 2 \cdot 18 = 36$ см.

Ответ: 36 см.