Номер 3, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Сформулируйте свойство осевой симметрии.

Осевая симметрия, или отражение относительно прямой, — это вид геометрического преобразования плоскости (или пространства). Пусть задана некоторая прямая $l$, которая называется осью симметрии. Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование, которое каждой точке $M$ плоскости ставит в соответствие такую точку $M'$, что:

• Если точка $M$ лежит на прямой $l$, то она отображается сама в себя ($M' = M$).
• Если точка $M$ не лежит на прямой $l$, то точка $M'$ такова, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Это означает, что отрезок $MM'$ перпендикулярен прямой $l$ и пересекает её в своей середине.

Основным свойством осевой симметрии является то, что это движение (или изометрия). Это значит, что при осевой симметрии сохраняются расстояния между точками. Из этого основного свойства вытекают все остальные:

1. Сохранение расстояний: Если точки $A$ и $B$ отображаются в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$.
2. Преобразование фигур в равные: Любая фигура при осевой симметрии преобразуется в равную ей фигуру. Например, отрезок переходит в равный ему отрезок, треугольник — в равный ему треугольник, окружность — в равную ей окружность.
3. Сохранение коллинеарности: Точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой. Таким образом, прямая переходит в прямую, а луч — в луч.
4. Сохранение углов: Угол между двумя прямыми (или лучами) сохраняется. То есть, угол, образованный фигурой, равен углу, образованному ее образом.
5. Неподвижные точки: Все точки, принадлежащие оси симметрии, являются неподвижными, то есть отображаются сами на себя.
6. Инвариантные прямые: Ось симметрии и любая прямая, ей перпендикулярная, переходят сами в себя (являются инвариантными относительно данного преобразования).
7. Изменение ориентации: Осевая симметрия меняет ориентацию фигур. Например, если обход вершин треугольника $ABC$ осуществлялся по часовой стрелке, то обход симметричных ему вершин $A'B'C'$ будет осуществляться против часовой стрелки.

Ответ: Осевая симметрия — это изометрическое преобразование (движение), которое сохраняет расстояния между точками, а следовательно, преобразует фигуры в равные им фигуры, сохраняя углы, но изменяя ориентацию.