Номер 663, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

663. Проведите пересекающиеся прямые $a$ и $a_1$. Постройте прямую, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$. Сколько решений имеет задача?

Пусть даны две пересекающиеся в точке $O$ прямые $a$ и $a_1$. Требуется построить прямую $l$, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$. Такая прямая $l$ называется осью симметрии.

Постройте прямую, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$.

Искомая прямая является биссектрисой угла, образованного данными прямыми $a$ и $a_1$.

Обоснование:

1. Пусть $l$ - искомая ось симметрии. Точка пересечения $O$ прямых $a$ и $a_1$ принадлежит обеим прямым. При симметрии относительно $l$ образ прямой $a$ есть прямая $a_1$. Значит, образ точки $O$ (лежащей на $a$) должен лежать на $a_1$. В то же время, так как $O$ лежит и на $a_1$, ее образ должен лежать на $a$. Единственная точка, принадлежащая и $a$, и $a_1$ - это $O$. Следовательно, точка $O$ отображается на себя, а значит, лежит на оси симметрии $l$.

2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$, не совпадающую с $O$. Точка $A_1$, симметричная точке $A$ относительно $l$, по условию лежит на прямой $a_1$. По определению осевой симметрии, $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$. Это означает, что для любой точки $M$ на прямой $l$ выполняется равенство $MA = MA_1$. Так как $O$ лежит на $l$, то $OA = OA_1$. Следовательно, треугольник $AOA_1$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике $AOA_1$ ось симметрии $l$ является медианой и высотой, проведенной к основанию $AA_1$, а значит, и биссектрисой угла $\angle AOA_1$.

Алгоритм построения:

1. Найти точку пересечения $O$ прямых $a$ и $a_1$.

2. Построить биссектрису любого из четырёх углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $a_1$.

Построенная биссектриса и будет искомой прямой.

Ответ: искомая прямая — это биссектриса угла, образованного прямыми $a$ и $a_1$.

Сколько решений имеет задача?

При пересечении двух прямых образуются две пары равных между собой вертикальных углов. Соответственно, можно построить две различные биссектрисы:

1. Биссектрису одной пары вертикальных углов.

2. Биссектрису другой пары вертикальных углов (смежных с первыми).

Эти две биссектрисы взаимно перпендикулярны. Каждая из них является осью симметрии, относительно которой прямая $a_1$ симметрична прямой $a$.

Ответ: задача имеет два решения.