Номер 665, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

665. Постройте ромб $ABCD$ по его вершинам $B$ и $C$ и прямой $l$, содержащей его диагональ $BD$ (рис. 177).

Для построения ромба $ABCD$ по заданным вершинам $B$ и $C$ и прямой $l$, содержащей диагональ $BD$, выполним следующие шаги: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

В ромбе все стороны равны. Поскольку нам даны вершины $B$ и $C$, длина стороны ромба равна длине отрезка $BC$. Обозначим эту длину как $R$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = R$.

Вершина $D$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой $l$.
2. Расстояние от нее до вершины $C$ равно длине стороны ромба, то есть $CD = BC = R$.

Следовательно, точка $D$ является точкой пересечения прямой $l$ и окружности с центром в точке $C$ и радиусом $R=BC$.

Вершина $A$ также должна удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от нее до вершины $B$ равно $R$, то есть $AB = BC = R$.
2. Расстояние от нее до вершины $D$ равно $R$, то есть $AD = BC = R$.

Следовательно, точка $A$ является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в $B$ и радиусом $R$, и другой с центром в $D$ и радиусом $R$.

Построение

1. Соединим точки $B$ и $C$. Длина отрезка $BC$ является стороной искомого ромба.
2. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $BC$.
3. Найдем точки пересечения построенной окружности с прямой $l$. В зависимости от расположения точки $C$ и прямой $l$ может быть две, одна или ни одной такой точки. Выберем одну из точек пересечения и обозначим ее как $D$. Это будет третья вершина ромба.
4. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $BC$.
5. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $BC$.
6. Найдем точку пересечения двух последних окружностей. Одна из точек пересечения (та, что образует выпуклый четырехугольник $ABCD$) будет искомой вершиной $A$.
7. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Ответ: Построение выполнено.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

• Сторона $BC$ является базовой по условию.
• Точка $D$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $BC$, следовательно, $CD = BC$.
• Точка $A$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $BC$, следовательно, $AB = BC$.
• Точка $A$ также лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $BC$ (так как $CD=BC$), следовательно, $AD = BC$.

Таким образом, мы имеем $AB = BC = CD = DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом по определению. Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — ромб.

Ответ: Построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

Исследование

Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения окружности с центром в $C$ и радиусом $R=BC$ с прямой $l$. Пусть $h$ — расстояние от точки $C$ до прямой $l$.

• Если расстояние от точки $C$ до прямой $l$ больше длины отрезка $BC$ ($h > BC$), то окружность и прямая не пересекаются. В этом случае решений нет.
• Если расстояние от точки $C$ до прямой $l$ равно длине отрезка $BC$ ($h = BC$), то окружность касается прямой в одной точке. Эта точка будет единственным возможным положением для вершины $D$. Следовательно, задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки $C$ до прямой $l$ меньше длины отрезка $BC$ ($h < BC$), то окружность пересекает прямую в двух точках ($D_1$ и $D_2$). Каждая из этих точек может быть вершиной ромба, что приводит к построению двух разных ромбов ($A_1BCD_1$ и $A_2BCD_2$). Следовательно, задача имеет два решения.

На рисунке 177 видно, что расстояние от точки $C$ до прямой $l$ меньше, чем длина отрезка $BC$, поэтому в данном конкретном случае задача имеет два решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от взаимного расположения точки $C$, прямой $l$ и длины отрезка $BC$.