Номер 671, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

671. Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является её осью симметрии.

Рассмотрим равнобокую трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. По определению равнобокой трапеции, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Пусть $M$ — середина основания $BC$, а $N$ — середина основания $AD$. Проведем прямую $l$ через точки $M$ и $N$. Нам нужно доказать, что прямая $l$ является осью симметрии трапеции $ABCD$.

Осью симметрии фигуры является прямая, при отражении (симметрии) относительно которой фигура переходит сама в себя. Для этого достаточно показать, что при симметрии относительно прямой $MN$ вершины трапеции переходят в другие ее вершины, а именно: вершина $A$ в $D$, а вершина $B$ в $C$.

Для доказательства этого факта установим, что прямая $MN$ перпендикулярна основаниям трапеции.

1. Проведем из вершин $B$ и $C$ высоты $BH_1$ и $CH_2$ на основание $AD$. Так как $BC \parallel AD$ и $BH_1 \perp AD, CH_2 \perp AD$, то четырехугольник $BCH_2H_1$ является прямоугольником. Отсюда следует, что $BH_1 = CH_2$.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH_1$ и $\triangle DCH_2$. У них:

• $AB = CD$ (как боковые стороны равнобокой трапеции).
• $BH_1 = CH_2$ (как высоты трапеции).

Следовательно, $\triangle ABH_1 = \triangle DCH_2$ по гипотенузе и катету.

3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: $AH_1 = DH_2$.

4. Точка $N$ является серединой $AD$, поэтому $AN = ND$. Выразим эти отрезки через другие:
$AN = AH_1 + H_1N$
$ND = NH_2 + H_2D$
Так как $AN = ND$ и $AH_1 = H_2D$, получаем:
$AH_1 + H_1N = NH_2 + AH_1$
$H_1N = NH_2$
Это означает, что точка $N$ является серединой отрезка $H_1H_2$.

5. В прямоугольнике $BCH_2H_1$ точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $N$ — серединой противолежащей стороны $H_1H_2$. Прямая, соединяющая середины противоположных сторон прямоугольника, перпендикулярна двум другим сторонам. Следовательно, прямая $MN$ перпендикулярна $BC$ и $H_1H_2$.

6. Так как отрезок $H_1H_2$ лежит на прямой $AD$, то $MN \perp AD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то $MN \perp BC$.

7. Теперь покажем, что симметрия относительно прямой $MN$ отображает трапецию саму на себя.

• Для точки $A$: прямая $AD$ перпендикулярна прямой $MN$, и $N$ является серединой отрезка $AD$. Следовательно, при симметрии относительно прямой $MN$ точка $A$ переходит в точку $D$, и наоборот.
• Для точки $B$: прямая $BC$ перпендикулярна прямой $MN$, и $M$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, при симметрии относительно прямой $MN$ точка $B$ переходит в точку $C$, и наоборот.

Таким образом, при симметрии относительно прямой $MN$ вершины трапеции $A, B, C, D$ переходят в вершины $D, C, B, A$ соответственно. Это означает, что трапеция $ABCD$ отображается сама на себя. Следовательно, прямая, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции, является её осью симметрии.

Ответ: Что и требовалось доказать.