Номер 675, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

675. Докажите, что прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Поместим его в прямоугольную систему координат так, чтобы его вершины имели координаты $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$ и $D(0,b)$, где $a = |AB|$ и $b = |AD|$ — длины его сторон.

Осью симметрии фигуры называется прямая, при осевой симметрии (отражении) относительно которой фигура переходит сама в себя. Нам нужно доказать, что две прямые, проходящие через середины противоположных сторон, являются такими осями.

Рассмотрим прямую, проходящую через середины сторон $AD$ и $BC$.

Пусть точка $K$ — середина стороны $AD$, а точка $L$ — середина стороны $BC$. Найдем их координаты по формуле координат середины отрезка: $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+b}{2}) = (0, \frac{b}{2})$. $L = (\frac{a+a}{2}, \frac{0+b}{2}) = (a, \frac{b}{2})$. Прямая, проходящая через точки $K$ и $L$, является горизонтальной прямой, так как их ординаты равны. Уравнение этой прямой: $y = \frac{b}{2}$.

Отражение относительно горизонтальной прямой $y=d$ переводит произвольную точку $(x, y)$ в точку $(x, 2d-y)$. В нашем случае $d=\frac{b}{2}$, поэтому каждая точка $(x,y)$ прямоугольника отразится в точку $(x, b-y)$. Проверим, куда при таком преобразовании отразятся вершины прямоугольника:

• Вершина $A(0,0)$ переходит в точку $(0, b-0) = (0,b)$, что совпадает с вершиной $D$.
• Вершина $B(a,0)$ переходит в точку $(a, b-0) = (a,b)$, что совпадает с вершиной $C$.
• Вершина $C(a,b)$ переходит в точку $(a, b-b) = (a,0)$, что совпадает с вершиной $B$.
• Вершина $D(0,b)$ переходит в точку $(0, b-b) = (0,0)$, что совпадает с вершиной $A$.

Поскольку вершины прямоугольника переходят в вершины этого же прямоугольника, то и весь прямоугольник при симметрии относительно прямой $KL$ переходит в себя. Следовательно, эта прямая является осью симметрии.

Рассмотрим прямую, проходящую через середины сторон $AB$ и $CD$.

Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$. Найдем их координаты: $M = (\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0)$. $N = (\frac{a+0}{2}, \frac{b+b}{2}) = (\frac{a}{2}, b)$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является вертикальной прямой, так как их абсциссы равны. Уравнение этой прямой: $x = \frac{a}{2}$.

Отражение относительно вертикальной прямой $x=c$ переводит произвольную точку $(x, y)$ в точку $(2c-x, y)$. В нашем случае $c=\frac{a}{2}$, поэтому каждая точка $(x,y)$ прямоугольника отразится в точку $(a-x, y)$. Проверим, куда при таком преобразовании отразятся вершины прямоугольника:

• Вершина $A(0,0)$ переходит в точку $(a-0, 0) = (a,0)$, что совпадает с вершиной $B$.
• Вершина $B(a,0)$ переходит в точку $(a-a, 0) = (0,0)$, что совпадает с вершиной $A$.
• Вершина $C(a,b)$ переходит в точку $(a-a, b) = (0,b)$, что совпадает с вершиной $D$.
• Вершина $D(0,b)$ переходит в точку $(a-0, b) = (a,b)$, что совпадает с вершиной $C$.

Поскольку вершины прямоугольника переходят в вершины этого же прямоугольника, то и весь прямоугольник при симметрии относительно прямой $MN$ переходит в себя. Следовательно, эта прямая также является осью симметрии.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.
Ответ: Что и требовалось доказать.