Страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

673. На рисунке 182 изображены равнобокая трапеция $ABCD$ и прямая $l$, проходящая через середины её оснований. Укажите образы точек $B$ и $D$, диагонали $AC$ и основания $BC$ при симметрии относительно прямой $l$.

Рис. 182

673.

Прямая $l$, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции $ABCD$, является её осью симметрии. При симметрии относительно прямой $l$ трапеция отображается на саму себя, при этом вершины, не лежащие на оси, переходят в симметричные им вершины.

Образы точек B и D
В равнобокой трапеции ось симметрии $l$ перпендикулярна основаниям. Поэтому точка $B$ переходит в точку $C$, так как они находятся на одинаковом расстоянии от оси $l$ на перпендикуляре к ней (отрезке $BC$). Аналогично, точка $D$ переходит в точку $A$.
Ответ: Образом точки $B$ является точка $C$, а образом точки $D$ является точка $A$.

Образ диагонали AC
Образом отрезка является отрезок, соединяющий образы его концов. Образом точки $A$ является точка $D$, а образом точки $C$ является точка $B$. Следовательно, образом диагонали $AC$ является диагональ $DB$.
Ответ: Диагональ $DB$.

Образ основания BC
Образом точки $B$ является точка $C$, а образом точки $C$ является точка $B$. Следовательно, основание $BC$ отображается на основание $CB$, то есть на само себя.
Ответ: Основание $BC$.

674.

Пусть дан ромб $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству ромба все его стороны равны ($AB=BC=CD=DA$), а его диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам ($AO=OC$, $BO=OD$). Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя.

Докажем, что прямая, содержащая диагональ $AC$, является осью симметрии.
Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $AC$.
1. Точки $A$ и $C$ лежат на оси симметрии, следовательно, они отображаются сами в себя.
2. Так как $BD \perp AC$ и $BO = OD$, точка $B$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Это означает, что при симметрии точка $B$ переходит в точку $D$, а точка $D$ — в точку $B$.
3. Таким образом, вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $A, D, C, B$ соответственно. Ромб $ABCD$ отображается на ромб $ADCB$, то есть на самого себя.
Следовательно, прямая $AC$ является осью симметрии ромба.

Докажем, что прямая, содержащая диагональ $BD$, является осью симметрии.
Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $BD$.
1. Точки $B$ и $D$ лежат на оси симметрии, следовательно, они отображаются сами в себя.
2. Так как $AC \perp BD$ и $AO = OC$, точка $A$ симметрична точке $C$ относительно прямой $BD$. Это означает, что при симметрии точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $C$ — в точку $A$.
3. Таким образом, вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $C, B, A, D$ соответственно. Ромб $ABCD$ отображается на ромб $CBAD$, то есть на самого себя.
Следовательно, прямая $BD$ является осью симметрии ромба.

Так как обе прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии ромба, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.

674. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Пусть дан ромб $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По определению ромба, все его стороны равны ($AB = BC = CD = DA$). Из свойств ромба известно, что его диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC$, $BO = OD$).

Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении (симметрии) относительно которой фигура отображается сама на себя. Чтобы доказать, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии, необходимо показать, что при симметрии относительно каждой из этих прямых ромб переходит в себя.

1. Рассмотрим симметрию относительно прямой, содержащей диагональ $AC$.

При симметрии относительно прямой $AC$, любая точка, лежащая на этой прямой, отображается сама на себя. Следовательно, вершины $A$ и $C$ ромба переходят в себя.

Рассмотрим вершину $B$. По определению осевой симметрии, ее образом будет точка $B'$, такая, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$. Из свойств ромба мы знаем, что $BD \perp AC$ и $BO = OD$. Это означает, что прямая $AC$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $BD$. Следовательно, образом точки $B$ при симметрии относительно прямой $AC$ является точка $D$. Аналогично, образом точки $D$ является точка $B$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой $AC$ вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $A, D, C, B$. Это означает, что ромб $ABCD$ отображается на ромб $ADCB$, то есть на самого себя. Значит, прямая, содержащая диагональ $AC$, является осью симметрии ромба.

2. Рассмотрим симметрию относительно прямой, содержащей диагональ $BD$.

Рассуждая аналогично, при симметрии относительно прямой $BD$ вершины $B$ и $D$ отображаются сами на себя.

Так как $AC \perp BD$ и $AO = OC$, прямая $BD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Следовательно, при симметрии относительно прямой $BD$ образом точки $A$ является точка $C$, а образом точки $C$ является точка $A$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой $BD$ вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $C, B, A, D$. Это означает, что ромб $ABCD$ отображается на ромб $CBAD$, то есть на самого себя. Значит, прямая, содержащая диагональ $BD$, является осью симметрии ромба.

Мы доказали, что обе прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии.

Ответ: Утверждение доказано.

675. Докажите, что прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.

Для доказательства воспользуемся методом координат. Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Поместим его в прямоугольную систему координат так, чтобы его вершины имели координаты $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,b)$ и $D(0,b)$, где $a = |AB|$ и $b = |AD|$ — длины его сторон.

Осью симметрии фигуры называется прямая, при осевой симметрии (отражении) относительно которой фигура переходит сама в себя. Нам нужно доказать, что две прямые, проходящие через середины противоположных сторон, являются такими осями.

Рассмотрим прямую, проходящую через середины сторон $AD$ и $BC$.

Пусть точка $K$ — середина стороны $AD$, а точка $L$ — середина стороны $BC$. Найдем их координаты по формуле координат середины отрезка: $K = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+b}{2}) = (0, \frac{b}{2})$. $L = (\frac{a+a}{2}, \frac{0+b}{2}) = (a, \frac{b}{2})$. Прямая, проходящая через точки $K$ и $L$, является горизонтальной прямой, так как их ординаты равны. Уравнение этой прямой: $y = \frac{b}{2}$.

Отражение относительно горизонтальной прямой $y=d$ переводит произвольную точку $(x, y)$ в точку $(x, 2d-y)$. В нашем случае $d=\frac{b}{2}$, поэтому каждая точка $(x,y)$ прямоугольника отразится в точку $(x, b-y)$. Проверим, куда при таком преобразовании отразятся вершины прямоугольника:

• Вершина $A(0,0)$ переходит в точку $(0, b-0) = (0,b)$, что совпадает с вершиной $D$.
• Вершина $B(a,0)$ переходит в точку $(a, b-0) = (a,b)$, что совпадает с вершиной $C$.
• Вершина $C(a,b)$ переходит в точку $(a, b-b) = (a,0)$, что совпадает с вершиной $B$.
• Вершина $D(0,b)$ переходит в точку $(0, b-b) = (0,0)$, что совпадает с вершиной $A$.

Поскольку вершины прямоугольника переходят в вершины этого же прямоугольника, то и весь прямоугольник при симметрии относительно прямой $KL$ переходит в себя. Следовательно, эта прямая является осью симметрии.

Рассмотрим прямую, проходящую через середины сторон $AB$ и $CD$.

Пусть точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $CD$. Найдем их координаты: $M = (\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{a}{2}, 0)$. $N = (\frac{a+0}{2}, \frac{b+b}{2}) = (\frac{a}{2}, b)$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, является вертикальной прямой, так как их абсциссы равны. Уравнение этой прямой: $x = \frac{a}{2}$.

Отражение относительно вертикальной прямой $x=c$ переводит произвольную точку $(x, y)$ в точку $(2c-x, y)$. В нашем случае $c=\frac{a}{2}$, поэтому каждая точка $(x,y)$ прямоугольника отразится в точку $(a-x, y)$. Проверим, куда при таком преобразовании отразятся вершины прямоугольника:

• Вершина $A(0,0)$ переходит в точку $(a-0, 0) = (a,0)$, что совпадает с вершиной $B$.
• Вершина $B(a,0)$ переходит в точку $(a-a, 0) = (0,0)$, что совпадает с вершиной $A$.
• Вершина $C(a,b)$ переходит в точку $(a-a, b) = (0,b)$, что совпадает с вершиной $D$.
• Вершина $D(0,b)$ переходит в точку $(a-0, b) = (a,b)$, что совпадает с вершиной $C$.

Поскольку вершины прямоугольника переходят в вершины этого же прямоугольника, то и весь прямоугольник при симметрии относительно прямой $MN$ переходит в себя. Следовательно, эта прямая также является осью симметрии.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые, проходящие через середины противоположных сторон прямоугольника, являются его осями симметрии.
Ответ: Что и требовалось доказать.

676. Точки $A_1$ и $B_1$ являются соответственно образами точек $A$ и $B$ при осевой симметрии. Известно, что $AB = 5$ см. Найдите $A_1B_1$.

Осевая симметрия является одним из видов движений (изометрий). Основное свойство любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояния между точками.

В данном случае, точки $A_1$ и $B_1$ являются образами точек $A$ и $B$ при осевой симметрии. Это означает, что отрезок $A_1B_1$ является образом отрезка $AB$.

Поскольку осевая симметрия сохраняет расстояния, длина отрезка-образа $A_1B_1$ равна длине исходного отрезка $AB$. Математически это можно записать так:

$A_1B_1 = AB$

По условию задачи известно, что $AB = 5$ см. Следовательно, мы можем найти длину отрезка $A_1B_1$:

$A_1B_1 = 5 \text{ см}$

Ответ: $5$ см.

677. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Пусть дан угол $AOB$ с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $OA$ и $OB$. Пусть луч $OC$ является его биссектрисой, а прямая $l$ — это прямая, содержащая эту биссектрису.

По определению, прямая является осью симметрии фигуры, если при отражении относительно этой прямой фигура переходит сама в себя. Чтобы доказать, что прямая $l$ является осью симметрии угла $AOB$, нужно показать, что любая точка одной стороны угла (например, луча $OA$) при симметричном отражении относительно $l$ переходит в точку на другой стороне угла (на луче $OB$), и наоборот.

Вершина угла, точка $O$, лежит на прямой $l$. Любая точка, лежащая на оси симметрии, при отражении переходит сама в себя. Следовательно, точка $O$ отображается на саму себя.

Теперь выберем на луче $OA$ произвольную точку $M$, не совпадающую с $O$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно прямой $l$. Для этого из точки $M$ опустим перпендикуляр $MH$ на прямую $l$ и на его продолжении отложим отрезок $HM'$, равный отрезку $MH$. По определению осевой симметрии, точка $M'$ является отражением точки $M$. Нам нужно доказать, что точка $M'$ лежит на луче $OB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHM$ и $\triangle OHM'$. В них катет $OH$ является общим, а катеты $MH$ и $M'H$ равны по построению ($MH = M'H$). Следовательно, треугольники $\triangle OHM$ и $\triangle OHM'$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов и сторон: $\angle MOH = \angle M'OH$ и $OM = OM'$.

Поскольку луч $OC$ (который лежит на прямой $l$) — это биссектриса угла $AOB$, то по определению $\angle AOC = \angle BOC$. Точка $M$ лежит на луче $OA$, а точка $H$ — на луче $OC$, поэтому $\angle MOH$ это тот же угол, что и $\angle AOC$. Значит, $\angle MOH = \angle AOC$.

Используя полученные равенства, имеем: $\angle M'OH = \angle MOH = \angle AOC = \angle BOC$. Отсюда получаем, что $\angle M'OH = \angle BOC$.

Это означает, что луч $OM'$ образует с биссектрисой $OC$ такой же угол, как и луч $OB$. Прямая $l$, содержащая биссектрису, делит плоскость на две полуплоскости. Лучи $OA$ и $OB$ лежат в разных полуплоскостях. Точка $M$ лежит на луче $OA$, а ее отражение $M'$ по определению лежит в другой полуплоскости, то есть в той же, где и луч $OB$. Так как луч $OM'$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $l$, что и луч $OB$, и образует с лучом $OC$ тот же угол, он должен совпадать с лучом $OB$. Следовательно, точка $M'$ лежит на луче $OB$.

Мы доказали, что любая точка луча $OA$ при симметрии относительно прямой $l$ отображается в точку, лежащую на луче $OB$. Аналогично можно доказать, что любая точка луча $OB$ отображается в точку на луче $OA$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису, угол отображается сам на себя. Следовательно, эта прямая является осью симметрии угла.

Ответ: Что и требовалось доказать.

678. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (-2; 1)$ и $B (0; -4)$ относительно осей координат.

Для нахождения координат точек, симметричных данным точкам относительно осей координат, используются следующие правила:

• При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) у точки с координатами $(x; y)$ абсцисса ($x$) остается неизменной, а ордината ($y$) меняет свой знак на противоположный. Координаты симметричной точки будут $(x; -y)$.
• При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) у точки с координатами $(x; y)$ ордината ($y$) остается неизменной, а абсцисса ($x$) меняет свой знак на противоположный. Координаты симметричной точки будут $(-x; y)$.

Для точки $A(-2; 1)$

Симметрия относительно оси абсцисс (Ox):
Чтобы найти точку $A_1$, симметричную точке $A(-2; 1)$ относительно оси Ox, мы сохраняем координату $x$ и меняем знак координаты $y$.
Абсцисса: $x_1 = -2$
Ордината: $y_1 = -1$
Координаты симметричной точки $A_1$ равны $(-2; -1)$.
Ответ: $(-2; -1)$.

Симметрия относительно оси ординат (Oy):
Чтобы найти точку $A_2$, симметричную точке $A(-2; 1)$ относительно оси Oy, мы меняем знак координаты $x$ и сохраняем координату $y$.
Абсцисса: $x_2 = -(-2) = 2$
Ордината: $y_2 = 1$
Координаты симметричной точки $A_2$ равны $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

Для точки $B(0; -4)$

Симметрия относительно оси абсцисс (Ox):
Чтобы найти точку $B_1$, симметричную точке $B(0; -4)$ относительно оси Ox, мы сохраняем координату $x$ и меняем знак координаты $y$.
Абсцисса: $x_1 = 0$
Ордината: $y_1 = -(-4) = 4$
Координаты симметричной точки $B_1$ равны $(0; 4)$.
Ответ: $(0; 4)$.

Симметрия относительно оси ординат (Oy):
Чтобы найти точку $B_2$, симметричную точке $B(0; -4)$ относительно оси Oy, мы меняем знак координаты $x$ и сохраняем координату $y$.
Абсцисса: $x_2 = -0 = 0$
Ордината: $y_2 = -4$
Координаты симметричной точки $B_2$ равны $(0; -4)$. Поскольку точка $B$ лежит на оси Oy, она симметрична самой себе относительно этой оси.
Ответ: $(0; -4)$.

679. Точки A $(x; 3)$ и B $(-2; y)$ симметричны относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат. Найдите $x$ и $y$.

1) оси абсцисс;

При симметрии двух точек относительно оси абсцисс (оси $Ox$) их абсциссы (координаты $x$) равны, а ординаты (координаты $y$) являются противоположными числами. Для точек $A(x; 3)$ и $B(-2; y)$ это условие можно записать в виде системы уравнений:

$x = -2$
$3 = -y$

Из первого уравнения сразу получаем значение $x = -2$. Из второго уравнения находим $y$:
$y = -3$

Таким образом, искомые значения: $x = -2$ и $y = -3$.

Ответ: $x = -2, y = -3$.

2) оси ординат.

При симметрии двух точек относительно оси ординат (оси $Oy$) их ординаты (координаты $y$) равны, а абсциссы (координаты $x$) являются противоположными числами. Для точек $A(x; 3)$ и $B(-2; y)$ это условие можно записать в виде системы уравнений:

$x = -(-2)$
$3 = y$

Из первого уравнения находим $x$:
$x = 2$
Из второго уравнения сразу получаем значение $y = 3$.

Таким образом, искомые значения: $x = 2$ и $y = 3$.

Ответ: $x = 2, y = 3$.

680. Образом прямой $a$ при симметрии относительно прямой $l$ является сама прямая $a$. Каково взаимное расположение прямых $a$ и $l$?

Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Если точка лежит на прямой $l$, то она отображается сама в себя.

По условию задачи, образом прямой $a$ при симметрии относительно прямой $l$ является сама прямая $a$. Это означает, что для любой точки, принадлежащей прямой $a$, ее симметричный образ также принадлежит прямой $a$.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямых $a$ и $l$:

1. Прямые $a$ и $l$ совпадают. В этом случае любая точка прямой $a$ лежит на оси симметрии $l$. По определению, каждая точка на оси симметрии отображается сама в себя. Следовательно, вся прямая $a$ отображается на саму себя. Этот случай удовлетворяет условию задачи.

2. Прямые $a$ и $l$ различны. В этом случае они могут быть либо параллельны, либо пересекаться.

• Если прямые $a$ и $l$ параллельны ($a \parallel l$), то для любой точки $M$ на прямой $a$ ее образ $M'$ будет лежать на прямой $a'$, которая также параллельна $l$ и находится на том же расстоянии от $l$, но с другой стороны. Прямая $a'$ не будет совпадать с прямой $a$. Этот вариант не удовлетворяет условию.
• Если прямые $a$ и $l$ пересекаются, пусть точка их пересечения — $O$. Точка $O$ принадлежит оси симметрии $l$, поэтому она отображается сама в себя. Возьмем любую другую точку $A$ на прямой $a$ ($A \neq O$). Ее образ $A'$ по условию также должен лежать на прямой $a$. По определению осевой симметрии, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это значит, что прямая $l$ перпендикулярна отрезку $AA'$. Поскольку точки $A$ и $A'$ лежат на прямой $a$, то прямая $a$ (содержащая отрезок $AA'$) перпендикулярна прямой $l$ ($a \perp l$). Этот вариант удовлетворяет условию.

Таким образом, мы приходим к выводу, что прямая $a$ отображается на себя при симметрии относительно прямой $l$ только в двух случаях.

Ответ: Прямые $a$ и $l$ либо совпадают, либо перпендикулярны.

681. Докажите, что треугольник, имеющий ось симметрии, является равнобедренным.

Пусть дан треугольник $ABC$ и прямая $l$ — его ось симметрии.

По определению осевой симметрии, при отражении относительно прямой $l$ треугольник $ABC$ отображается сам на себя. Это означает, что каждая вершина треугольника отображается на одну из вершин этого же треугольника.

Ось симметрии $l$ должна проходить хотя бы через одну вершину. В противном случае, если бы ось не проходила ни через одну из вершин, то для сохранения множества вершин $\{A, B, C\}$ они должны были бы меняться местами парами (например, $A$ и $B$), а третья вершина ($C$) — отображаться сама в себя, что означало бы, что она лежит на оси $l$. Это приводит к противоречию с первоначальным предположением.

Пусть ось симметрии $l$ проходит через вершину $A$. Тогда при симметрии вершина $A$ отображается сама на себя. Две другие вершины, $B$ и $C$, должны либо оставаться на месте, либо меняться местами. Если бы вершины $B$ и $C$ оставались на месте, они бы, как и $A$, лежали на оси $l$, и тогда все три вершины лежали бы на одной прямой, что невозможно для треугольника. Следовательно, единственно возможный случай — вершина $B$ отображается на вершину $C$, а вершина $C$ — на вершину $B$.

Поскольку при симметрии относительно $l$ точка $A$ переходит в себя, а точка $B$ переходит в точку $C$, то отрезок (сторона) $AB$ переходит в отрезок $AC$.

Осевая симметрия сохраняет расстояния. Поэтому длины отрезков, переходящих друг в друга, равны. Отсюда следует, что $AB = AC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, имеющий ось симметрии, является равнобедренным, так как ось симметрии обязательно проходит через одну из его вершин (например, $A$) и отображает две другие вершины ($B$ и $C$) друг в друга, из чего, в силу свойства симметрии сохранять расстояния, следует равенство сторон $AB$ и $AC$.

682. Докажите, что треугольник, имеющий две оси симметрии, является равносторонним. Может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии?

Докажите, что треугольник, имеющий две оси симметрии, является равносторонним.

Пусть дан треугольник $ABC$, у которого есть две оси симметрии. Осью симметрии фигуры является прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя.

Ось симметрии треугольника всегда проходит через одну из его вершин и является серединным перпендикуляром к противоположной стороне. Также она является медианой, высотой и биссектрисой, проведенной из этой вершины.

1. Пусть первая ось симметрии $l_1$ проходит через вершину $A$. При симметрии относительно $l_1$ вершина $A$ остается на месте, а вершины $B$ и $C$ должны поменяться местами. Это возможно только если $l_1$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BC$. Из свойства серединного перпендикуляра следует, что любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $A$ лежит на $l_1$, то расстояние от $A$ до $B$ равно расстоянию от $A$ до $C$. Таким образом, мы получаем равенство сторон: $AB = AC$. Это значит, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

2. Пусть вторая ось симметрии $l_2$ проходит через другую вершину, например, $B$. Аналогично, при симметрии относительно $l_2$ вершина $B$ остается на месте, а вершины $A$ и $C$ меняются местами. Это означает, что $l_2$ является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Следовательно, точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $C$. Таким образом, мы получаем равенство сторон: $BA = BC$.

3. Из двух полученных равенств $AB = AC$ и $BA = BC$ следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = AC = BC$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он является равносторонним.

Может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии?

Из предыдущего доказательства следует, что если треугольник имеет две оси симметрии, он обязательно является равносторонним.

Рассмотрим свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Прямая, содержащая медиану (которая также является высотой и биссектрисой), проведенную из любой вершины, является осью симметрии.

Так как у треугольника три вершины, то в равностороннем треугольнике можно провести три такие прямые, каждая из которых будет осью симметрии. Следовательно, равносторонний треугольник имеет ровно три оси симметрии.

Таким образом, возникает противоречие: предположение о существовании ровно двух осей симметрии приводит к выводу, что треугольник равносторонний, а у равностороннего треугольника всегда три оси симметрии. Следовательно, треугольник не может иметь ровно две оси симметрии. Если у него есть две, то обязательно есть и третья.

Ответ: Нет, треугольник не может иметь ровно две оси симметрии. Он может иметь либо ни одной (разносторонний), либо одну (равнобедренный, но не равносторонний), либо три (равносторонний).

683. Докажите, что если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он является или прямоугольником, или ромбом.

Пусть данный параллелограмм имеет ровно две оси симметрии. Известно, что любая ось симметрии параллелограмма должна проходить через его центр симметрии — точку пересечения диагоналей $O$.

Рассмотрим, какими могут быть оси симметрии параллелограмма. Существует два возможных типа осей симметрии для параллелограмма.

Тип 1: Ось симметрии совпадает с диагональю.
Пусть осью симметрии является прямая, содержащая диагональ $AC$. Это означает, что при отражении относительно прямой $AC$ параллелограмм переходит сам в себя. В частности, вершина $B$ должна перейти в вершину $D$. Для этого необходимо, чтобы прямая $AC$ была серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. В любом параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть $O$ является серединой $BD$. Следовательно, для выполнения условия симметрии необходимо, чтобы диагонали были перпендикулярны: $AC \perp BD$. Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом. Аналогично, если диагональ $BD$ является осью симметрии, то $BD \perp AC$, что также означает, что параллелограмм — ромб. Таким образом, если диагонали являются осями симметрии, то параллелограмм является ромбом.

Тип 2: Ось симметрии проходит через середины противоположных сторон.
Пусть ось симметрии $l$ не проходит через вершины. Тогда она должна проходить через середины пары противоположных сторон. Пусть $l$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и середину $N$ стороны $CD$. Чтобы $l$ была осью симметрии, отражение относительно нее должно переводить параллелограмм в себя. В частности, вершина $A$ должна переходить в вершину $B$. Это означает, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Поскольку $l$ по определению проходит через середину $M$ отрезка $AB$, это условие означает, что $l \perp AB$. В параллелограмме отрезок, соединяющий середины противоположных сторон ($MN$), параллелен двум другим сторонам ($AD$ и $BC$). Таким образом, имеем $l \parallel AD$. Из условий $l \perp AB$ и $l \parallel AD$ следует, что $AD \perp AB$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, если прямые, проходящие через середины противоположных сторон, являются осями симметрии, то параллелограмм является прямоугольником.

Анализ условия о наличии ровно двух осей симметрии.
По условию задачи, параллелограмм имеет ровно две оси симметрии.

• Если обе оси симметрии являются диагоналями (Тип 1), то параллелограмм является ромбом. Если бы это был квадрат, он бы имел 4 оси симметрии, что противоречит условию. Следовательно, это ромб, не являющийся квадратом.
• Если обе оси симметрии проходят через середины противоположных сторон (Тип 2), то параллелограмм является прямоугольником. Если бы это был квадрат, у него было бы 4 оси симметрии. Следовательно, это прямоугольник, не являющийся квадратом.
• Невозможна комбинация осей разных типов. Если бы у параллелограмма была одна ось типа 1 и одна ось типа 2, он был бы одновременно и ромбом (по свойству оси типа 1), и прямоугольником (по свойству оси типа 2). Фигура, являющаяся одновременно ромбом и прямоугольником, — это квадрат. Но квадрат имеет четыре оси симметрии (две диагонали и две линии, соединяющие середины сторон), что противоречит условию о наличии ровно двух осей.

Таким образом, если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, он должен быть либо ромбом (и не квадратом), либо прямоугольником (и не квадратом). В обоих случаях утверждение "является или прямоугольником, или ромбом" истинно.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с ровно двумя осями симметрии является либо прямоугольником (оси проходят через середины противоположных сторон), либо ромбом (оси совпадают с диагоналями).

684. Докажите, что если четырёхугольник имеет четыре оси симметрии, то он является квадратом.

Пусть данный четырёхугольник — $ABCD$, и он имеет четыре оси симметрии $l_1, l_2, l_3, l_4$.

1. Докажем, что все оси симметрии должны пересекаться в одной точке. Предположим, что две оси, например $l_1$ и $l_2$, параллельны. Отражение относительно прямой является симметрией фигуры. Композиция двух отражений относительно параллельных прямых является параллельным переносом. Если ограниченная фигура, такая как четырёхугольник, имеет симметрию параллельного переноса, она должна быть бесконечной в направлении переноса, что является противоречием. Следовательно, никакие две оси симметрии не могут быть параллельны, и все они должны пересекаться в одной точке, назовем её $O$. Эта точка является центром симметрии фигуры.

2. Любое преобразование симметрии (в нашем случае — отражение относительно оси) должно переводить множество вершин четырёхугольника $\{A, B, C, D\}$ в себя. Поскольку все оси симметрии проходят через точку $O$, отражение любой точки фигуры относительно любой из осей сохраняет расстояние до точки $O$. Группа симметрий четырёхугольника действует на множестве его вершин. Эта группа должна действовать транзитивно, иначе фигура не была бы единым четырёхугольником. Это означает, что для любых двух вершин, например $A$ и $B$, существует симметрия $S$, переводящая $A$ в $B$. Так как $S$ — изометрия и $S(O)=O$, то $OA = OS(A) = OB$. Распространяя это рассуждение на все вершины, получаем, что $OA = OB = OC = OD$. Это означает, что все вершины четырёхугольника лежат на одной окружности с центром в точке $O$, то есть четырёхугольник является вписанным в окружность.

3. Оси симметрии вписанного четырёхугольника могут быть двух видов:

• Прямая, проходящая через две противоположные вершины (диагональ).
• Прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон.

4. Рассмотрим наличие у четырёхугольника $ABCD$ осей симметрии обоих видов, так как их четыре.

Предположим, что две из осей симметрии являются диагоналями $AC$ и $BD$.

• Если $AC$ — ось симметрии, то отражение относительно $AC$ меняет местами вершины $B$ и $D$. Это значит, что $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. Отсюда следует, что $AB = AD$ и $CB = CD$.
• Если $BD$ — ось симметрии, то, аналогично, $BD$ является серединным перпендикуляром к $AC$. Отсюда следует, что $AB = CB$ и $AD = CD$.

Из этих двух условий вместе следует, что все стороны четырёхугольника равны: $AB = BC = CD = DA$. Такой четырёхугольник является ромбом.

Теперь предположим, что две другие оси симметрии проходят через середины противоположных сторон.

• Пусть одна из осей проходит через середины сторон $AB$ и $CD$. Симметрия относительно этой оси означает, что вершина $A$ переходит в $B$, а $D$ в $C$ (или $A$ в $D$, а $B$ в $C$). В любом случае, это приводит к тому, что четырёхугольник является равнобокой трапецией или прямоугольником. В частности, диагонали такого четырёхугольника равны: $AC = BD$.

Итак, наш четырёхугольник должен быть ромбом, у которого равны диагонали. Ромб с равными диагоналями является прямоугольником.

5. Таким образом, четырёхугольник, имеющий четыре оси симметрии, должен быть одновременно и ромбом (все стороны равны), и прямоугольником (все углы прямые). Единственная фигура, удовлетворяющая обоим этим условиям, — это квадрат.

Проверка показывает, что квадрат действительно имеет четыре оси симметрии: две диагонали и две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник, имеющий четыре оси симметрии, является квадратом.

685. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$.

Рассмотрим первую окружность с центром в точке $O_1$. Точки $A$ и $B$ лежат на этой окружности, следовательно, отрезки $O_1A$ и $O_1B$ являются её радиусами. Таким образом, $O_1A = O_1B$. Это означает, что точка $O_1$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Аналогично, рассмотрим вторую окружность с центром в точке $O_2$. Точки $A$ и $B$ лежат и на этой окружности, поэтому отрезки $O_2A$ и $O_2B$ — её радиусы. Следовательно, $O_2A = O_2B$, и точка $O_2$ также равноудалена от точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка (в данном случае отрезка $AB$), является серединным перпендикуляром к этому отрезку.

Поскольку обе точки, $O_1$ и $O_2$, равноудалены от точек $A$ и $B$, они обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Так как через две различные точки ($O_1$ и $O_2$) проходит единственная прямая, то прямая $O_1O_2$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

По определению, две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Так как прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, то точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$, поскольку центры окружностей $O_1$ и $O_2$ равноудалены от точек пересечения $A$ и $B$, а значит, линия центров $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к общей хорде $AB$.

686. Точка $M$ принадлежит прямому углу $ABC$ (рис. 183). Точки $M_1$ и $M_2$ – образы точки $M$ при симметрии относительно прямых $BA$ и $BC$ соответственно. Докажите, что точки $M_1$, $B$, $M_2$ лежат на одной прямой.

Рис. 183

685. Рассмотрим две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, которые пересекаются в точках A и B.

Точки A и B лежат на первой окружности с центром $O_1$, следовательно, отрезки $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами этой окружности. Таким образом, $O_1A = O_1B$. Это означает, что точка $O_1$ равноудалена от точек A и B.

Аналогично, точки A и B лежат на второй окружности с центром $O_2$, следовательно, отрезки $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами второй окружности. Таким образом, $O_2A = O_2B$. Это означает, что точка $O_2$ также равноудалена от точек A и B.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на прямой, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину. Поскольку и точка $O_1$, и точка $O_2$ равноудалены от A и B, обе они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Так как через две различные точки можно провести только одну прямую, то прямая $O_1O_2$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.

По определению, две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, точки A и B симметричны относительно прямой $O_1O_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки A и B симметричны относительно прямой $O_1O_2$.

686. Дан прямой угол $\angle ABC = 90^\circ$ и точка M, расположенная внутри него. Точка $M_1$ — это образ точки M при симметрии относительно прямой BA, а точка $M_2$ — образ точки M при симметрии относительно прямой BC.

По определению осевой симметрии, прямая BA является осью симметрии для точек M и $M_1$. Это означает, что BA — серединный перпендикуляр к отрезку $MM_1$. Из этого следует, что для любой точки на оси симметрии (включая точку B) расстояния до M и $M_1$ равны, то есть $BM = BM_1$. Кроме того, ось симметрии является биссектрисой угла $\angle M_1BM$, поэтому $\angle M_1BA = \angle MBA$.

Аналогично, прямая BC является осью симметрии для точек M и $M_2$. Следовательно, BC — серединный перпендикуляр к отрезку $MM_2$, из чего следует, что $BM = BM_2$ и BC является биссектрисой угла $\angle MBM_2$. Поэтому $\angle M_2BC = \angle MBC$.

Чтобы доказать, что точки $M_1$, B и $M_2$ лежат на одной прямой, нужно показать, что угол $\angle M_1BM_2$ является развернутым, то есть его градусная мера равна $180^\circ$.

Угол $\angle M_1BM_2$ складывается из нескольких углов с вершиной в точке B. Так как M находится внутри угла $\angle ABC$, то лучи расположены в следующем порядке: $BM_1$, $BA$, $BM$, $BC$, $BM_2$. Таким образом, угол $\angle M_1BM_2$ можно представить в виде суммы следующих углов:

$\angle M_1BM_2 = \angle M_1BA + \angle ABM + \angle MBC + \angle CBM_2$

Используя выведенные ранее равенства углов ($\angle M_1BA = \angle ABM$ и $\angle CBM_2 = \angle MBC$), подставим их в выражение:

$\angle M_1BM_2 = \angle ABM + \angle ABM + \angle MBC + \angle MBC = 2(\angle ABM + \angle MBC)$

Сумма углов $(\angle ABM + \angle MBC)$ равна углу $\angle ABC$. Следовательно:

$\angle M_1BM_2 = 2 \cdot \angle ABC$

По условию задачи, угол $\angle ABC$ — прямой, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Подставим это значение:

$\angle M_1BM_2 = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$

Угол, равный $180^\circ$, является развернутым, а это значит, что его стороны являются противоположными лучами, лежащими на одной прямой. Следовательно, точки $M_1$, B и $M_2$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки $M_1, B, M_2$ лежат на одной прямой.