Номер 683, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

683. Докажите, что если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, то он является или прямоугольником, или ромбом.

Пусть данный параллелограмм имеет ровно две оси симметрии. Известно, что любая ось симметрии параллелограмма должна проходить через его центр симметрии — точку пересечения диагоналей $O$.

Рассмотрим, какими могут быть оси симметрии параллелограмма. Существует два возможных типа осей симметрии для параллелограмма.

Тип 1: Ось симметрии совпадает с диагональю.
Пусть осью симметрии является прямая, содержащая диагональ $AC$. Это означает, что при отражении относительно прямой $AC$ параллелограмм переходит сам в себя. В частности, вершина $B$ должна перейти в вершину $D$. Для этого необходимо, чтобы прямая $AC$ была серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. В любом параллелограмме диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть $O$ является серединой $BD$. Следовательно, для выполнения условия симметрии необходимо, чтобы диагонали были перпендикулярны: $AC \perp BD$. Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом. Аналогично, если диагональ $BD$ является осью симметрии, то $BD \perp AC$, что также означает, что параллелограмм — ромб. Таким образом, если диагонали являются осями симметрии, то параллелограмм является ромбом.

Тип 2: Ось симметрии проходит через середины противоположных сторон.
Пусть ось симметрии $l$ не проходит через вершины. Тогда она должна проходить через середины пары противоположных сторон. Пусть $l$ проходит через середину $M$ стороны $AB$ и середину $N$ стороны $CD$. Чтобы $l$ была осью симметрии, отражение относительно нее должно переводить параллелограмм в себя. В частности, вершина $A$ должна переходить в вершину $B$. Это означает, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Поскольку $l$ по определению проходит через середину $M$ отрезка $AB$, это условие означает, что $l \perp AB$. В параллелограмме отрезок, соединяющий середины противоположных сторон ($MN$), параллелен двум другим сторонам ($AD$ и $BC$). Таким образом, имеем $l \parallel AD$. Из условий $l \perp AB$ и $l \parallel AD$ следует, что $AD \perp AB$. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, если прямые, проходящие через середины противоположных сторон, являются осями симметрии, то параллелограмм является прямоугольником.

Анализ условия о наличии ровно двух осей симметрии.
По условию задачи, параллелограмм имеет ровно две оси симметрии.

• Если обе оси симметрии являются диагоналями (Тип 1), то параллелограмм является ромбом. Если бы это был квадрат, он бы имел 4 оси симметрии, что противоречит условию. Следовательно, это ромб, не являющийся квадратом.
• Если обе оси симметрии проходят через середины противоположных сторон (Тип 2), то параллелограмм является прямоугольником. Если бы это был квадрат, у него было бы 4 оси симметрии. Следовательно, это прямоугольник, не являющийся квадратом.
• Невозможна комбинация осей разных типов. Если бы у параллелограмма была одна ось типа 1 и одна ось типа 2, он был бы одновременно и ромбом (по свойству оси типа 1), и прямоугольником (по свойству оси типа 2). Фигура, являющаяся одновременно ромбом и прямоугольником, — это квадрат. Но квадрат имеет четыре оси симметрии (две диагонали и две линии, соединяющие середины сторон), что противоречит условию о наличии ровно двух осей.

Таким образом, если параллелограмм имеет ровно две оси симметрии, он должен быть либо ромбом (и не квадратом), либо прямоугольником (и не квадратом). В обоих случаях утверждение "является или прямоугольником, или ромбом" истинно.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограмм с ровно двумя осями симметрии является либо прямоугольником (оси проходят через середины противоположных сторон), либо ромбом (оси совпадают с диагоналями).