Номер 690, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

690. Точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $a$. Найдите на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы лучи $XA$ и $XB$ образовывали с этой прямой равные углы.

Для решения этой задачи используется метод осевой симметрии. Искомая точка X находится путем построения, которое гарантирует равенство углов благодаря свойствам симметрии. Этот метод аналогичен закону отражения света от зеркальной поверхности.

Построение искомой точки X:
1. Выберем одну из данных точек, например, точку A, и построим ее симметричный образ A' относительно прямой a. Для этого из точки A опускается перпендикуляр на прямую a, и на его продолжении за прямую откладывается отрезок, равный расстоянию от A до прямой a.
2. Соединим полученную точку A' с другой данной точкой, B, прямой линией.
3. Точка, в которой построенная прямая A'B пересекает прямую a, и будет искомой точкой X.

Доказательство:
Пусть X — точка, полученная в результате описанного выше построения. Нам нужно доказать, что углы, образованные лучами XA и XB с прямой a, равны. Обозначим угол между лучом XA и прямой a как $\alpha_1$, а угол между лучом XB и прямой a как $\alpha_2$.
По свойству осевой симметрии, угол между лучом XA и прямой a равен углу между лучом XA' и прямой a, так как прямая a является осью симметрии для точек A и A'. Обозначим этот угол, образованный лучом XA' с прямой a, как $\alpha'$. Таким образом, $\alpha_1 = \alpha'$.
По нашему построению, точки A', X и B лежат на одной прямой. Следовательно, угол между лучом XA' и прямой a ($\alpha'$) и угол между лучом XB и прямой a ($\alpha_2$) являются вертикальными углами при пересечении прямых A'B и a. Вертикальные углы равны, поэтому $\alpha' = \alpha_2$.
Из двух полученных равенств, $\alpha_1 = \alpha'$ и $\alpha' = \alpha_2$, мы заключаем, что $\alpha_1 = \alpha_2$. Это и требовалось доказать.

Исследование:
Следует отметить, что существует еще одна точка, которая формально удовлетворяет условию: это точка пересечения прямой AB с прямой a (если прямая AB не параллельна a). В этом случае лучи XA и XB лежат на одной прямой, поэтому очевидно, что они образуют равные углы с прямой a. Однако решение через симметрию является более общим (оно единственно в случае, когда AB параллельно a) и является классическим решением для данного типа задач.

Ответ: Искомая точка X является точкой пересечения прямой a с отрезком, соединяющим одну из данных точек (например, B) с точкой A', которая симметрична другой данной точке (A) относительно прямой a.