Номер 691, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

691. Точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $a$. Найдите на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы сумма $AX + XB$ была наименьшей.

Для решения этой задачи используется метод осевой симметрии. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$.

По определению симметрии, для любой точки $X$ на прямой $a$ расстояние от нее до точки $A$ равно расстоянию до точки $A'$. То есть, $AX = A'X$. Это следует из того, что прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$, а значит, любой треугольник с вершинами $A, A'$ и $X$ на прямой $a$ является равнобедренным.

Таким образом, сумму $AX + XB$, которую требуется минимизировать, можно заменить на равную ей сумму $A'X + XB$.

Точки $A'$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, их соединяющего. Для точек $A'$, $B$ и любой точки $X$, лежащей на прямой $a$, по неравенству треугольника имеем $A'X + XB \ge A'B$.

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на отрезке $A'B$. Следовательно, наименьшее значение суммы $A'X + XB$ (а значит и $AX + XB$) равно длине отрезка $A'B$, и достигается оно в точке пересечения отрезка $A'B$ и прямой $a$.

Таким образом, для нахождения искомой точки $X$ необходимо сначала построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$, а затем соединить точку $A'$ с точкой $B$. Точка пересечения отрезка $A'B$ с прямой $a$ и будет искомой точкой $X$.

Ответ: Искомая точка $X$ — это точка пересечения прямой $a$ и отрезка, соединяющего точку $B$ с точкой $A'$, симметричной точке $A$ относительно прямой $a$.