Номер 692, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

692. Постройте треугольник $ABC$ по двум сторонам $AB$ и $AC$ ($AB < AC$) и разности углов $B$ и $C$.

Пусть нам даны два отрезка $c$ и $b$ (причем $c < b$) и угол $\delta$. Требуется построить треугольник $ABC$ со сторонами $AB=c$, $AC=b$ и разностью углов $\angle B - \angle C = \delta$.

Поскольку в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, из условия $AC > AB$ (или $b>c$) следует, что $\angle B > \angle C$. Таким образом, данная разность углов $\delta$ положительна.

Решение задачи состоит из четырех стандартных этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Воспользуемся теоремой синусов для этого треугольника: $$ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \implies \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$ Отсюда получаем соотношение: $$ \frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C} $$ Нам известно, что $\angle B - \angle C = \delta$, откуда $\angle B = \angle C + \delta$. Подставим это в полученное соотношение: $$ \frac{b}{c} = \frac{\sin(C+\delta)}{\sin C} $$ Раскроем синус суммы: $$ \frac{b}{c} = \frac{\sin C \cos \delta + \cos C \sin \delta}{\sin C} = \cos \delta + \cot C \sin \delta $$ Выразим из этого уравнения $\cot C$: $$ \cot C \sin \delta = \frac{b}{c} - \cos \delta $$ $$ \cot C = \frac{\frac{b}{c} - \cos \delta}{\sin \delta} = \frac{b - c \cos \delta}{c \sin \delta} $$ Это соотношение позволяет найти угол $C$ по известным величинам $b, c, \delta$. Величины в числителе и знаменателе, а именно $b - c \cos \delta$ и $c \sin \delta$, являются длинами отрезков, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Таким образом, мы можем построить два отрезка, отношение которых равно $\cot C$. По этим отрезкам мы можем построить прямоугольный треугольник, один из острых углов которого будет равен $C$.

После того как угол $C$ будет построен, мы можем построить и весь треугольник $ABC$. Например, по стороне $AC=b$, стороне $AB=c$ и углу $C$, противолежащему стороне $AB$ (построение по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них). Или, что проще и не приводит к неоднозначности, можно найти угол $A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (2\angle C + \delta)$, а затем построить треугольник по стороне $AC=b$ и двум прилежащим к ней углам $A$ и $C$.

Пусть даны отрезки $b$, $c$ и угол $\delta$.

1. Построим вспомогательные отрезки. Для этого построим прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\delta$.
   • Проведем прямую и отложим на ней отрезок $PK$, равный $c$.
   • От луча $KP$ отложим угол $\angle PKM = \delta$.
   • Из точки $P$ опустим перпендикуляр $PN$ на прямую $KM$.
   • В полученном прямоугольном треугольнике $PNK$ катет $KN = c \cos \delta$, а катет $PN = c \sin \delta$.
2. Построим отрезок длиной $l_1 = b - c \cos \delta$.
   • На прямой отложим отрезок $OQ$, равный $b$.
   • От точки $Q$ в сторону точки $O$ отложим отрезок $QR$, равный $KN = c \cos \delta$.
   • Отрезок $OR$ равен искомой длине $l_1$.
3. Построим угол $C$.
   • Построим прямоугольный треугольник $XYZ$ с прямым углом $Y$.
   • Отложим катет $XY$, равный отрезку $l_1 = b - c \cos \delta$.
   • Отложим катет $YZ$, равный отрезку $PN = c \sin \delta$.
   • Угол $\angle YXZ$ в этом треугольнике будет искомым углом $C$, так как $\cot(\angle YXZ) = \frac{XY}{YZ} = \frac{b - c \cos \delta}{c \sin \delta}$.
4. Построим искомый треугольник $ABC$.
   • Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный $b$.
   • От луча $CA$ построим угол, равный построенному углу $C$ ($\angle YXZ$). Пусть это будет луч $CM$.
   • Из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $c$.
   • Точка пересечения дуги и луча $CM$ будет вершиной $B$.
   • Соединим точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ построен.

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC=b$ и сторона $AB=c$ по построению. Угол $\angle C$ (или $\angle ACB$) по построению таков, что $\cot C = \frac{b - c \cos \delta}{c \sin \delta}$.

Докажем, что разность углов $\angle B - \angle C$ равна $\delta$.

Преобразуем выражение для $\cot C$: $$ c \sin \delta \cot C = b - c \cos \delta $$ $$ c \sin \delta \frac{\cos C}{\sin C} = b - c \cos \delta $$ $$ c \cos C \sin \delta + c \sin C \cos \delta = b \sin C $$ $$ c (\sin C \cos \delta + \cos C \sin \delta) = b \sin C $$ $$ c \sin(C+\delta) = b \sin C $$ $$ \frac{b}{c} = \frac{\sin(C+\delta)}{\sin C} $$ Теперь применим теорему синусов к построенному треугольнику $ABC$: $$ \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \implies \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C} $$ Сравнивая два полученных выражения для отношения $b/c$, имеем: $$ \frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sin(C+\delta)}{\sin C} \implies \sin B = \sin(C+\delta) $$ Это равенство возможно в двух случаях:

1) $\angle B = \angle C + \delta$. В этом случае $\angle B - \angle C = \delta$, что и требовалось доказать.

2) $\angle B = 180^\circ - (\angle C + \delta)$. В этом случае $\angle A + \angle B + \angle C = \angle A + 180^\circ - (\angle C + \delta) + \angle C = \angle A + 180^\circ - \delta = 180^\circ$, откуда $\angle A = \delta$. Разность углов была бы $\angle B - \angle C = 180^\circ - 2\angle C - \delta$. Это не равно $\delta$ в общем случае.

Поскольку наше построение приводит к единственному треугольнику (см. Исследование), и этот треугольник должен удовлетворять исходным условиям, то верен первый случай. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Задача имеет решение, если все шаги построения выполнимы.

1. Построение вспомогательных отрезков $c \cos \delta$ и $c \sin \delta$ всегда возможно, если $c$ и $\delta$ заданы.

2. Построение отрезка $l_1 = b - c \cos \delta$ требует, чтобы $b > c \cos \delta$. Из условия $b > c$ следует $\angle B > \angle C$. В треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. $\angle A + (\angle C + \delta) + \angle C = 180^\circ \implies \angle A + 2\angle C + \delta = 180^\circ$. Так как $\angle A > 0$, то $2\angle C + \delta < 180^\circ$, откуда $\angle C < 90^\circ - \delta/2$. Это означает, что угол $C$ всегда острый, следовательно $\cos C > 0$. Ранее в анализе мы получили: $\frac{b}{c} = \cos \delta + \cot C \sin \delta$. Поскольку $C$ - острый угол, $\cot C > 0$. Также $\delta = B-C$, и так как $B < 180^\circ, C > 0$, то $\delta < 180^\circ$, значит $\sin\delta > 0$. Следовательно, $\cot C \sin\delta > 0$, и $\frac{b}{c} > \cos\delta$, откуда $b > c \cos\delta$. Таким образом, отрезок $l_1$ всегда имеет положительную длину и его можно построить.

3. Построение угла $C$ по его котангенсу всегда возможно, так как $l_1>0$ и $c \sin \delta > 0$ (при $\delta \ne 0, 180^\circ$).

4. Построение треугольника $ABC$ на последнем шаге сводится к задаче построения по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них ($AC=b, AB=c, \angle C$). Эта задача имеет решение, если $c \ge b \sin C$. Из соотношения $c \sin(C+\delta) = b \sin C$ имеем $b \sin C = c \sin B$. Условие существования $c \ge b \sin C$ превращается в $c \ge c \sin B$, или $1 \ge \sin B$. Это неравенство всегда верно для угла треугольника. Равенство $c = b \sin C$ (одно решение для $B$) достигается при $\sin B = 1$, т.е. $\angle B = 90^\circ$. В общем случае $c > b \sin C$, что дает два пересечения прямой $CM$ с окружностью радиуса $c$ с центром в $A$. Это соответствует двум возможным углам $B$ и $B' = 180^\circ - B$. Как показано в Доказательстве, только один из них ($\angle B = C+\delta$) удовлетворяет условию задачи. Наше построение однозначно выбирает нужный луч и точку на нем.

Итак, при заданных условиях $b>c>0$ и $0 < \delta < 180^\circ$ задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Задача решена путем сведения к построению угла $C$ по его котангенсу, $\cot C = \frac{b - c \cos \delta}{c \sin \delta}$, с последующим построением треугольника по двум сторонам и углу. Задача всегда имеет единственное решение.