Номер 689, страница 166 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

689. Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $a$. На прямой $a$ найдите такую точку $X$, чтобы прямая $a$ содержала биссектрису угла $AXB$.

Для решения этой задачи необходимо найти такую точку $X$ на прямой a, для которой углы, образованные отрезками $XA$ и $XB$ с прямой a, равны. Воспользуемся для этого методом осевой симметрии.

Построение искомой точки $X$:

1. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой a, отразим одну из них, например точку $B$, симметрично относительно прямой a. Полученную точку назовем $B'$. Точки $A$ и $B'$ окажутся в одной полуплоскости.
2. Проведем прямую через точки $A$ и $B'$.
3. Точка пересечения прямой $AB'$ с прямой a и будет искомой точкой $X$.

Доказательство:

Нужно доказать, что для построенной таким образом точки $X$ прямая a содержит биссектрису угла $AXB$. Это эквивалентно доказательству равенства углов, которые лучи $XA$ и $XB$ образуют с прямой a.

1. По определению осевой симметрии, для любой точки $X$ на оси симметрии a, угол между отрезком $XB$ и прямой a равен углу между отрезком $XB'$ (где $B'$ — образ точки $B$) и прямой a. Обозначим это как $\angle(XB, a) = \angle(XB', a)$.

2. По нашему построению, точка $X$ является точкой пересечения прямых $AB'$ и a. Это означает, что точки $A$, $X$ и $B'$ лежат на одной прямой. Следовательно, углы, которые образуют лучи $XA$ и $XB'$ с прямой a, равны, так как они являются вертикальными (или совпадают). Таким образом, $\angle(XA, a) = \angle(XB', a)$.

3. Сравнивая равенства из пунктов 1 и 2, получаем:

$\angle(XA, a) = \angle(XB, a)$

Это равенство означает, что прямая a делит угол $AXB$ на два равных угла, то есть содержит его биссектрису. Таким образом, построенная точка $X$ является искомой.

Ответ: Искомая точка $X$ — это точка пересечения прямой a с прямой, проходящей через точку $A$ и точку $B'$, которая является симметричным отражением точки $B$ относительно прямой a.