Номер 682, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

682. Докажите, что треугольник, имеющий две оси симметрии, является равносторонним. Может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии?

Докажите, что треугольник, имеющий две оси симметрии, является равносторонним.

Пусть дан треугольник $ABC$, у которого есть две оси симметрии. Осью симметрии фигуры является прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя.

Ось симметрии треугольника всегда проходит через одну из его вершин и является серединным перпендикуляром к противоположной стороне. Также она является медианой, высотой и биссектрисой, проведенной из этой вершины.

1. Пусть первая ось симметрии $l_1$ проходит через вершину $A$. При симметрии относительно $l_1$ вершина $A$ остается на месте, а вершины $B$ и $C$ должны поменяться местами. Это возможно только если $l_1$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BC$. Из свойства серединного перпендикуляра следует, что любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как точка $A$ лежит на $l_1$, то расстояние от $A$ до $B$ равно расстоянию от $A$ до $C$. Таким образом, мы получаем равенство сторон: $AB = AC$. Это значит, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

2. Пусть вторая ось симметрии $l_2$ проходит через другую вершину, например, $B$. Аналогично, при симметрии относительно $l_2$ вершина $B$ остается на месте, а вершины $A$ и $C$ меняются местами. Это означает, что $l_2$ является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Следовательно, точка $B$ равноудалена от точек $A$ и $C$. Таким образом, мы получаем равенство сторон: $BA = BC$.

3. Из двух полученных равенств $AB = AC$ и $BA = BC$ следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $AB = AC = BC$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он является равносторонним.

Может ли треугольник иметь ровно две оси симметрии?

Из предыдущего доказательства следует, что если треугольник имеет две оси симметрии, он обязательно является равносторонним.

Рассмотрим свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Прямая, содержащая медиану (которая также является высотой и биссектрисой), проведенную из любой вершины, является осью симметрии.

Так как у треугольника три вершины, то в равностороннем треугольнике можно провести три такие прямые, каждая из которых будет осью симметрии. Следовательно, равносторонний треугольник имеет ровно три оси симметрии.

Таким образом, возникает противоречие: предположение о существовании ровно двух осей симметрии приводит к выводу, что треугольник равносторонний, а у равностороннего треугольника всегда три оси симметрии. Следовательно, треугольник не может иметь ровно две оси симметрии. Если у него есть две, то обязательно есть и третья.

Ответ: Нет, треугольник не может иметь ровно две оси симметрии. Он может иметь либо ни одной (разносторонний), либо одну (равнобедренный, но не равносторонний), либо три (равносторонний).