Номер 681, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

681. Докажите, что треугольник, имеющий ось симметрии, является равнобедренным.

Пусть дан треугольник $ABC$ и прямая $l$ — его ось симметрии.

По определению осевой симметрии, при отражении относительно прямой $l$ треугольник $ABC$ отображается сам на себя. Это означает, что каждая вершина треугольника отображается на одну из вершин этого же треугольника.

Ось симметрии $l$ должна проходить хотя бы через одну вершину. В противном случае, если бы ось не проходила ни через одну из вершин, то для сохранения множества вершин $\{A, B, C\}$ они должны были бы меняться местами парами (например, $A$ и $B$), а третья вершина ($C$) — отображаться сама в себя, что означало бы, что она лежит на оси $l$. Это приводит к противоречию с первоначальным предположением.

Пусть ось симметрии $l$ проходит через вершину $A$. Тогда при симметрии вершина $A$ отображается сама на себя. Две другие вершины, $B$ и $C$, должны либо оставаться на месте, либо меняться местами. Если бы вершины $B$ и $C$ оставались на месте, они бы, как и $A$, лежали на оси $l$, и тогда все три вершины лежали бы на одной прямой, что невозможно для треугольника. Следовательно, единственно возможный случай — вершина $B$ отображается на вершину $C$, а вершина $C$ — на вершину $B$.

Поскольку при симметрии относительно $l$ точка $A$ переходит в себя, а точка $B$ переходит в точку $C$, то отрезок (сторона) $AB$ переходит в отрезок $AC$.

Осевая симметрия сохраняет расстояния. Поэтому длины отрезков, переходящих друг в друга, равны. Отсюда следует, что $AB = AC$.

Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, имеющий ось симметрии, является равнобедренным, так как ось симметрии обязательно проходит через одну из его вершин (например, $A$) и отображает две другие вершины ($B$ и $C$) друг в друга, из чего, в силу свойства симметрии сохранять расстояния, следует равенство сторон $AB$ и $AC$.