Номер 680, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

680. Образом прямой $a$ при симметрии относительно прямой $l$ является сама прямая $a$. Каково взаимное расположение прямых $a$ и $l$?

Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Если точка лежит на прямой $l$, то она отображается сама в себя.

По условию задачи, образом прямой $a$ при симметрии относительно прямой $l$ является сама прямая $a$. Это означает, что для любой точки, принадлежащей прямой $a$, ее симметричный образ также принадлежит прямой $a$.

Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения прямых $a$ и $l$:

1. Прямые $a$ и $l$ совпадают. В этом случае любая точка прямой $a$ лежит на оси симметрии $l$. По определению, каждая точка на оси симметрии отображается сама в себя. Следовательно, вся прямая $a$ отображается на саму себя. Этот случай удовлетворяет условию задачи.

2. Прямые $a$ и $l$ различны. В этом случае они могут быть либо параллельны, либо пересекаться.

• Если прямые $a$ и $l$ параллельны ($a \parallel l$), то для любой точки $M$ на прямой $a$ ее образ $M'$ будет лежать на прямой $a'$, которая также параллельна $l$ и находится на том же расстоянии от $l$, но с другой стороны. Прямая $a'$ не будет совпадать с прямой $a$. Этот вариант не удовлетворяет условию.
• Если прямые $a$ и $l$ пересекаются, пусть точка их пересечения — $O$. Точка $O$ принадлежит оси симметрии $l$, поэтому она отображается сама в себя. Возьмем любую другую точку $A$ на прямой $a$ ($A \neq O$). Ее образ $A'$ по условию также должен лежать на прямой $a$. По определению осевой симметрии, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA'$. Это значит, что прямая $l$ перпендикулярна отрезку $AA'$. Поскольку точки $A$ и $A'$ лежат на прямой $a$, то прямая $a$ (содержащая отрезок $AA'$) перпендикулярна прямой $l$ ($a \perp l$). Этот вариант удовлетворяет условию.

Таким образом, мы приходим к выводу, что прямая $a$ отображается на себя при симметрии относительно прямой $l$ только в двух случаях.

Ответ: Прямые $a$ и $l$ либо совпадают, либо перпендикулярны.