Номер 673, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

673. На рисунке 182 изображены равнобокая трапеция $ABCD$ и прямая $l$, проходящая через середины её оснований. Укажите образы точек $B$ и $D$, диагонали $AC$ и основания $BC$ при симметрии относительно прямой $l$.

Рис. 182

673.

Прямая $l$, проходящая через середины оснований равнобокой трапеции $ABCD$, является её осью симметрии. При симметрии относительно прямой $l$ трапеция отображается на саму себя, при этом вершины, не лежащие на оси, переходят в симметричные им вершины.

Образы точек B и D
В равнобокой трапеции ось симметрии $l$ перпендикулярна основаниям. Поэтому точка $B$ переходит в точку $C$, так как они находятся на одинаковом расстоянии от оси $l$ на перпендикуляре к ней (отрезке $BC$). Аналогично, точка $D$ переходит в точку $A$.
Ответ: Образом точки $B$ является точка $C$, а образом точки $D$ является точка $A$.

Образ диагонали AC
Образом отрезка является отрезок, соединяющий образы его концов. Образом точки $A$ является точка $D$, а образом точки $C$ является точка $B$. Следовательно, образом диагонали $AC$ является диагональ $DB$.
Ответ: Диагональ $DB$.

Образ основания BC
Образом точки $B$ является точка $C$, а образом точки $C$ является точка $B$. Следовательно, основание $BC$ отображается на основание $CB$, то есть на само себя.
Ответ: Основание $BC$.

674.

Пусть дан ромб $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству ромба все его стороны равны ($AB=BC=CD=DA$), а его диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам ($AO=OC$, $BO=OD$). Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя.

Докажем, что прямая, содержащая диагональ $AC$, является осью симметрии.
Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $AC$.
1. Точки $A$ и $C$ лежат на оси симметрии, следовательно, они отображаются сами в себя.
2. Так как $BD \perp AC$ и $BO = OD$, точка $B$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$. Это означает, что при симметрии точка $B$ переходит в точку $D$, а точка $D$ — в точку $B$.
3. Таким образом, вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $A, D, C, B$ соответственно. Ромб $ABCD$ отображается на ромб $ADCB$, то есть на самого себя.
Следовательно, прямая $AC$ является осью симметрии ромба.

Докажем, что прямая, содержащая диагональ $BD$, является осью симметрии.
Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой $BD$.
1. Точки $B$ и $D$ лежат на оси симметрии, следовательно, они отображаются сами в себя.
2. Так как $AC \perp BD$ и $AO = OC$, точка $A$ симметрична точке $C$ относительно прямой $BD$. Это означает, что при симметрии точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $C$ — в точку $A$.
3. Таким образом, вершины ромба $A, B, C, D$ переходят в вершины $C, B, A, D$ соответственно. Ромб $ABCD$ отображается на ромб $CBAD$, то есть на самого себя.
Следовательно, прямая $BD$ является осью симметрии ромба.

Так как обе прямые, содержащие диагонали, являются осями симметрии ромба, утверждение доказано.
Ответ: Доказано.