Номер 670, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

670. На рисунке 181 изображены равнобедренный треугольник $ABC$ и прямая $l$, содержащая его высоту, проведённую к основанию $AC$. Отрезки $AM$ и $CN$ – его медианы. Укажите образы точек $A$ и $B$, медианы $CN$ и стороны $AC$ при симметрии относительно прямой $l$.

Рис. 181

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, а прямая $l$ содержит высоту, проведённую к основанию, то прямая $l$ является осью симметрии этого треугольника. Это следует из того, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Образ точки А
Прямая $l$ перпендикулярна основанию $AC$ и проходит через его середину. По определению осевой симметрии, точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $l$, — это точка $C$.
Ответ: точка $C$.

Образ точки B
Вершина $B$ треугольника лежит на прямой $l$, которая является осью симметрии. Любая точка, принадлежащая оси симметрии, при отражении отображается сама на себя. Следовательно, образом точки $B$ является сама точка $B$.
Ответ: точка $B$.

Образ медианы CN
Чтобы найти образ отрезка $CN$, нужно найти образы его конечных точек $C$ и $N$.
1. Образом точки $C$ является точка $A$.
2. Точка $N$ — середина стороны $AB$. При симметрии относительно $l$ точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $B$ — в саму себя. Значит, отрезок $AB$ переходит в отрезок $CB$. Так как осевая симметрия сохраняет середины отрезков, то середина отрезка $AB$ (точка $N$) перейдет в середину отрезка $CB$. Серединой отрезка $CB$ является точка $M$ (поскольку $AM$ — медиана). Таким образом, образом точки $N$ является точка $M$.
Следовательно, образом медианы $CN$ является отрезок $AM$.
Ответ: медиана $AM$.

Образ стороны AC
Образом отрезка является отрезок, соединяющий образы его концов. Образом точки $A$ является точка $C$, а образом точки $C$ является точка $A$. Следовательно, отрезок $AC$ при симметрии относительно прямой $l$ отображается на отрезок $CA$, то есть на самого себя.
Ответ: сторона $AC$.