Номер 677, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

677. Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Пусть дан угол $AOB$ с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $OA$ и $OB$. Пусть луч $OC$ является его биссектрисой, а прямая $l$ — это прямая, содержащая эту биссектрису.

По определению, прямая является осью симметрии фигуры, если при отражении относительно этой прямой фигура переходит сама в себя. Чтобы доказать, что прямая $l$ является осью симметрии угла $AOB$, нужно показать, что любая точка одной стороны угла (например, луча $OA$) при симметричном отражении относительно $l$ переходит в точку на другой стороне угла (на луче $OB$), и наоборот.

Вершина угла, точка $O$, лежит на прямой $l$. Любая точка, лежащая на оси симметрии, при отражении переходит сама в себя. Следовательно, точка $O$ отображается на саму себя.

Теперь выберем на луче $OA$ произвольную точку $M$, не совпадающую с $O$. Построим точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно прямой $l$. Для этого из точки $M$ опустим перпендикуляр $MH$ на прямую $l$ и на его продолжении отложим отрезок $HM'$, равный отрезку $MH$. По определению осевой симметрии, точка $M'$ является отражением точки $M$. Нам нужно доказать, что точка $M'$ лежит на луче $OB$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHM$ и $\triangle OHM'$. В них катет $OH$ является общим, а катеты $MH$ и $M'H$ равны по построению ($MH = M'H$). Следовательно, треугольники $\triangle OHM$ и $\triangle OHM'$ равны по двум катетам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов и сторон: $\angle MOH = \angle M'OH$ и $OM = OM'$.

Поскольку луч $OC$ (который лежит на прямой $l$) — это биссектриса угла $AOB$, то по определению $\angle AOC = \angle BOC$. Точка $M$ лежит на луче $OA$, а точка $H$ — на луче $OC$, поэтому $\angle MOH$ это тот же угол, что и $\angle AOC$. Значит, $\angle MOH = \angle AOC$.

Используя полученные равенства, имеем: $\angle M'OH = \angle MOH = \angle AOC = \angle BOC$. Отсюда получаем, что $\angle M'OH = \angle BOC$.

Это означает, что луч $OM'$ образует с биссектрисой $OC$ такой же угол, как и луч $OB$. Прямая $l$, содержащая биссектрису, делит плоскость на две полуплоскости. Лучи $OA$ и $OB$ лежат в разных полуплоскостях. Точка $M$ лежит на луче $OA$, а ее отражение $M'$ по определению лежит в другой полуплоскости, то есть в той же, где и луч $OB$. Так как луч $OM'$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $l$, что и луч $OB$, и образует с лучом $OC$ тот же угол, он должен совпадать с лучом $OB$. Следовательно, точка $M'$ лежит на луче $OB$.

Мы доказали, что любая точка луча $OA$ при симметрии относительно прямой $l$ отображается в точку, лежащую на луче $OB$. Аналогично можно доказать, что любая точка луча $OB$ отображается в точку на луче $OA$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой, содержащей биссектрису, угол отображается сам на себя. Следовательно, эта прямая является осью симметрии угла.

Ответ: Что и требовалось доказать.