Номер 684, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

684. Докажите, что если четырёхугольник имеет четыре оси симметрии, то он является квадратом.

Пусть данный четырёхугольник — $ABCD$, и он имеет четыре оси симметрии $l_1, l_2, l_3, l_4$.

1. Докажем, что все оси симметрии должны пересекаться в одной точке. Предположим, что две оси, например $l_1$ и $l_2$, параллельны. Отражение относительно прямой является симметрией фигуры. Композиция двух отражений относительно параллельных прямых является параллельным переносом. Если ограниченная фигура, такая как четырёхугольник, имеет симметрию параллельного переноса, она должна быть бесконечной в направлении переноса, что является противоречием. Следовательно, никакие две оси симметрии не могут быть параллельны, и все они должны пересекаться в одной точке, назовем её $O$. Эта точка является центром симметрии фигуры.

2. Любое преобразование симметрии (в нашем случае — отражение относительно оси) должно переводить множество вершин четырёхугольника $\{A, B, C, D\}$ в себя. Поскольку все оси симметрии проходят через точку $O$, отражение любой точки фигуры относительно любой из осей сохраняет расстояние до точки $O$. Группа симметрий четырёхугольника действует на множестве его вершин. Эта группа должна действовать транзитивно, иначе фигура не была бы единым четырёхугольником. Это означает, что для любых двух вершин, например $A$ и $B$, существует симметрия $S$, переводящая $A$ в $B$. Так как $S$ — изометрия и $S(O)=O$, то $OA = OS(A) = OB$. Распространяя это рассуждение на все вершины, получаем, что $OA = OB = OC = OD$. Это означает, что все вершины четырёхугольника лежат на одной окружности с центром в точке $O$, то есть четырёхугольник является вписанным в окружность.

3. Оси симметрии вписанного четырёхугольника могут быть двух видов:

• Прямая, проходящая через две противоположные вершины (диагональ).
• Прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон.

4. Рассмотрим наличие у четырёхугольника $ABCD$ осей симметрии обоих видов, так как их четыре.

Предположим, что две из осей симметрии являются диагоналями $AC$ и $BD$.

• Если $AC$ — ось симметрии, то отражение относительно $AC$ меняет местами вершины $B$ и $D$. Это значит, что $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$. Отсюда следует, что $AB = AD$ и $CB = CD$.
• Если $BD$ — ось симметрии, то, аналогично, $BD$ является серединным перпендикуляром к $AC$. Отсюда следует, что $AB = CB$ и $AD = CD$.

Из этих двух условий вместе следует, что все стороны четырёхугольника равны: $AB = BC = CD = DA$. Такой четырёхугольник является ромбом.

Теперь предположим, что две другие оси симметрии проходят через середины противоположных сторон.

• Пусть одна из осей проходит через середины сторон $AB$ и $CD$. Симметрия относительно этой оси означает, что вершина $A$ переходит в $B$, а $D$ в $C$ (или $A$ в $D$, а $B$ в $C$). В любом случае, это приводит к тому, что четырёхугольник является равнобокой трапецией или прямоугольником. В частности, диагонали такого четырёхугольника равны: $AC = BD$.

Итак, наш четырёхугольник должен быть ромбом, у которого равны диагонали. Ромб с равными диагоналями является прямоугольником.

5. Таким образом, четырёхугольник, имеющий четыре оси симметрии, должен быть одновременно и ромбом (все стороны равны), и прямоугольником (все углы прямые). Единственная фигура, удовлетворяющая обоим этим условиям, — это квадрат.

Проверка показывает, что квадрат действительно имеет четыре оси симметрии: две диагонали и две прямые, проходящие через середины противоположных сторон. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник, имеющий четыре оси симметрии, является квадратом.