Номер 685, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

685. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Докажите, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$.

Рассмотрим первую окружность с центром в точке $O_1$. Точки $A$ и $B$ лежат на этой окружности, следовательно, отрезки $O_1A$ и $O_1B$ являются её радиусами. Таким образом, $O_1A = O_1B$. Это означает, что точка $O_1$ равноудалена от точек $A$ и $B$.

Аналогично, рассмотрим вторую окружность с центром в точке $O_2$. Точки $A$ и $B$ лежат и на этой окружности, поэтому отрезки $O_2A$ и $O_2B$ — её радиусы. Следовательно, $O_2A = O_2B$, и точка $O_2$ также равноудалена от точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка (в данном случае отрезка $AB$), является серединным перпендикуляром к этому отрезку.

Поскольку обе точки, $O_1$ и $O_2$, равноудалены от точек $A$ и $B$, они обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Так как через две различные точки ($O_1$ и $O_2$) проходит единственная прямая, то прямая $O_1O_2$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

По определению, две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Так как прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, то точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $O_1O_2$, поскольку центры окружностей $O_1$ и $O_2$ равноудалены от точек пересечения $A$ и $B$, а значит, линия центров $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к общей хорде $AB$.