Номер 686, страница 165 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

686. Точка $M$ принадлежит прямому углу $ABC$ (рис. 183). Точки $M_1$ и $M_2$ – образы точки $M$ при симметрии относительно прямых $BA$ и $BC$ соответственно. Докажите, что точки $M_1$, $B$, $M_2$ лежат на одной прямой.

Рис. 183

685. Рассмотрим две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, которые пересекаются в точках A и B.

Точки A и B лежат на первой окружности с центром $O_1$, следовательно, отрезки $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами этой окружности. Таким образом, $O_1A = O_1B$. Это означает, что точка $O_1$ равноудалена от точек A и B.

Аналогично, точки A и B лежат на второй окружности с центром $O_2$, следовательно, отрезки $O_2A$ и $O_2B$ являются радиусами второй окружности. Таким образом, $O_2A = O_2B$. Это означает, что точка $O_2$ также равноудалена от точек A и B.

Согласно свойству серединного перпендикуляра, все точки, равноудаленные от концов отрезка, лежат на прямой, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину. Поскольку и точка $O_1$, и точка $O_2$ равноудалены от A и B, обе они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Так как через две различные точки можно провести только одну прямую, то прямая $O_1O_2$ и есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.

По определению, две точки называются симметричными относительно прямой, если эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, точки A и B симметричны относительно прямой $O_1O_2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки A и B симметричны относительно прямой $O_1O_2$.

686. Дан прямой угол $\angle ABC = 90^\circ$ и точка M, расположенная внутри него. Точка $M_1$ — это образ точки M при симметрии относительно прямой BA, а точка $M_2$ — образ точки M при симметрии относительно прямой BC.

По определению осевой симметрии, прямая BA является осью симметрии для точек M и $M_1$. Это означает, что BA — серединный перпендикуляр к отрезку $MM_1$. Из этого следует, что для любой точки на оси симметрии (включая точку B) расстояния до M и $M_1$ равны, то есть $BM = BM_1$. Кроме того, ось симметрии является биссектрисой угла $\angle M_1BM$, поэтому $\angle M_1BA = \angle MBA$.

Аналогично, прямая BC является осью симметрии для точек M и $M_2$. Следовательно, BC — серединный перпендикуляр к отрезку $MM_2$, из чего следует, что $BM = BM_2$ и BC является биссектрисой угла $\angle MBM_2$. Поэтому $\angle M_2BC = \angle MBC$.

Чтобы доказать, что точки $M_1$, B и $M_2$ лежат на одной прямой, нужно показать, что угол $\angle M_1BM_2$ является развернутым, то есть его градусная мера равна $180^\circ$.

Угол $\angle M_1BM_2$ складывается из нескольких углов с вершиной в точке B. Так как M находится внутри угла $\angle ABC$, то лучи расположены в следующем порядке: $BM_1$, $BA$, $BM$, $BC$, $BM_2$. Таким образом, угол $\angle M_1BM_2$ можно представить в виде суммы следующих углов:

$\angle M_1BM_2 = \angle M_1BA + \angle ABM + \angle MBC + \angle CBM_2$

Используя выведенные ранее равенства углов ($\angle M_1BA = \angle ABM$ и $\angle CBM_2 = \angle MBC$), подставим их в выражение:

$\angle M_1BM_2 = \angle ABM + \angle ABM + \angle MBC + \angle MBC = 2(\angle ABM + \angle MBC)$

Сумма углов $(\angle ABM + \angle MBC)$ равна углу $\angle ABC$. Следовательно:

$\angle M_1BM_2 = 2 \cdot \angle ABC$

По условию задачи, угол $\angle ABC$ — прямой, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. Подставим это значение:

$\angle M_1BM_2 = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$

Угол, равный $180^\circ$, является развернутым, а это значит, что его стороны являются противоположными лучами, лежащими на одной прямой. Следовательно, точки $M_1$, B и $M_2$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки $M_1, B, M_2$ лежат на одной прямой.