Номер 672, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

672. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведём медиану $BM$ из вершины $B$ к основанию $AC$.

По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, следовательно, $AM = MC$.

Рассмотрим два треугольника, на которые медиана $BM$ делит исходный треугольник: $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

Сравним эти треугольники. Во-первых, $AB = CB$, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный. Во-вторых, $AM = CM$, так как $BM$ — медиана. В-третьих, сторона $BM$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$ равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны соответствующие углы: $\angle AMB = \angle CMB$. Эти углы являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Так как они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что медиана $BM$ также является высотой, то есть прямая $BM$ перпендикулярна прямой $AC$.

Осью симметрии фигуры называется прямая, при отражении (симметрии) относительно которой фигура переходит сама в себя. Докажем, что прямая, содержащая медиану $BM$, является осью симметрии для треугольника $ABC$.

Для этого покажем, что при симметрии относительно прямой $BM$ треугольник $ABC$ отображается на себя. При такой симметрии любая точка, лежащая на оси (на прямой $BM$), отображается сама на себя. Значит, вершина $B$ и точка $M$ переходят в себя.

Рассмотрим вершину $A$. Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BM$ и точка $M$ является серединой отрезка $AC$ ($AM = MC$), то по определению осевой симметрии точка $C$ является образом точки $A$. Аналогично, точка $A$ является образом точки $C$.

Таким образом, при симметрии относительно прямой $BM$ вершина $A$ переходит в вершину $C$, вершина $C$ переходит в вершину $A$, а вершина $B$ переходит сама в себя. Это означает, что отрезок $AB$ переходит в отрезок $CB$, отрезок $BC$ — в отрезок $BA$, а основание $AC$ — в основание $CA$. Следовательно, весь треугольник $ABC$ отображается на себя.

Это доказывает, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является его осью симметрии, так как при отражении относительно этой прямой треугольник отображается сам на себя.