Номер 668, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

668. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ имеют две общие точки (рис. 180). С помощью только циркуля постройте окружности, симметричные данным относительно прямой $AB$.

$A$

$K$

СЕЗОН ДОЖДЕЙ

$A$

$B$

$O_1$

$O_2$

Для построения окружностей, симметричных данным относительно прямой AB, необходимо построить центры этих новых окружностей. Радиусы симметричных окружностей будут равны радиусам исходных.

Обозначим первую окружность как $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1 = O_1A = O_1B$.Обозначим вторую окружность как $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2 = O_2A = O_2B$.

Окружность, симметричная данной окружности относительно прямой, имеет тот же радиус, а ее центр симметричен центру данной окружности относительно этой прямой. Таким образом, задача сводится к построению точек $O'_1$ и $O'_2$, симметричных точкам $O_1$ и $O_2$ соответственно относительно прямой AB, с помощью только циркуля.

1. Устанавливаем раствор циркуля равным радиусу первой окружности $R_1$. Для этого ставим иглу циркуля в центр $O_1$, а грифель — в точку A (или B).
2. Не меняя раствора циркуля, строим две дуги с центрами в точках A и B. Ставим иглу циркуля в точку A и проводим дугу радиусом $R_1$.
3. Затем ставим иглу циркуля в точку B и проводим дугу тем же радиусом $R_1$.
4. Эти две дуги пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходный центр $O_1$. Вторую точку пересечения обозначим $O'_1$. Эта точка и будет центром искомой симметричной окружности.
5. С центром в точке $O'_1$ и тем же радиусом $R_1$ строим окружность. Это и есть окружность, симметричная окружности $\omega_1$ относительно прямой AB.

1. Устанавливаем раствор циркуля равным радиусу второй окружности $R_2$. Для этого ставим иглу циркуля в центр $O_2$, а грифель — в точку A (или B).
2. Не меняя раствора циркуля, строим две дуги с центрами в точках A и B. Ставим иглу циркуля в точку A и проводим дугу радиусом $R_2$.
3. Затем ставим иглу циркуля в точку B и проводим дугу тем же радиусом $R_2$.
4. Эти две дуги пересекутся в двух точках. Одна из них — это исходный центр $O_2$. Вторую точку пересечения обозначим $O'_2$. Эта точка и будет центром второй искомой симметричной окружности.
5. С центром в точке $O'_2$ и тем же радиусом $R_2$ строим окружность. Это и есть окружность, симметричная окружности $\omega_2$ относительно прямой AB.

Рассмотрим построение точки $O'_1$. По построению, $AO_1 = BO_1 = R_1$ (так как A и B лежат на окружности $\omega_1$) и мы построили точку $O'_1$ так, что $AO'_1 = BO'_1 = R_1$. Следовательно, $AO_1 = AO'_1$ и $BO_1 = BO'_1$. Это означает, что точки A и B равноудалены от концов отрезка $O_1O'_1$. Множество точек, равноудаленных от концов отрезка, есть его серединный перпендикуляр. Таким образом, прямая AB является серединным перпендикуляром к отрезку $O_1O'_1$. Это по определению означает, что точка $O'_1$ симметрична точке $O_1$ относительно прямой AB. Аналогичное рассуждение доказывает, что точка $O'_2$ симметрична точке $O_2$ относительно прямой AB. Так как построенные окружности имеют те же радиусы, что и исходные, они являются искомыми.

Ответ: Вышеописанный алгоритм построения позволяет с помощью только циркуля построить окружности, симметричные данным относительно прямой AB.