Номер 666, страница 164 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

666. Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ по вершине $A$, точке $K$, принадлежащей боковой стороне $BC$, и прямой, содержащей высоту, проведённую к основанию $AB$ (рис. 178).

Рис. 178

Обозначим данную прямую, содержащую высоту, как прямую $h$. По условию задачи нам даны вершина $A$ треугольника $ABC$, точка $K$, принадлежащая боковой стороне $BC$, и прямая $h$.

Анализ

Предположим, что искомый равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $C$ построен. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что прямая $h$, содержащая высоту $CH$ (где $H$ — точка на основании $AB$), является серединным перпендикуляром к основанию $AB$.

Из свойства серединного перпендикуляра следует, что любая его точка равноудалена от концов отрезка. Так как прямая $h$ — серединный перпендикуляр к $AB$, то вершины $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $h$.

Вершина $C$ лежит на прямой $h$. Также, по условию, точка $K$ лежит на стороне $BC$. Это означает, что три точки — $B$, $K$ и $C$ — лежат на одной прямой. Таким образом, вершина $C$ является точкой пересечения прямой $h$ и прямой, проходящей через точки $B$ и $K$.

Это приводит нас к следующему алгоритму построения.

Построение

1. Построим точку $B$, которая является второй вершиной основания треугольника. Для этого найдем точку, симметричную данной точке $A$ относительно прямой $h$.
   • С помощью циркуля и линейки проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $h$. Обозначим точку их пересечения как $H$.
   • На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HB$, равный по длине отрезку $AH$, так, чтобы точки $A$ и $B$ лежали по разные стороны от прямой $h$. Точка $B$ и будет искомой вершиной.
2. Проведем прямую через построенную точку $B$ и данную точку $K$.
3. Найдем точку пересечения прямой $BK$ и данной прямой $h$. Эта точка является третьей вершиной треугольника — вершиной $C$.
4. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• По построению, точка $B$ симметрична точке $A$ относительно прямой $h$.
• Вершина $C$ лежит на прямой $h$. Прямая $h$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.
• По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $AC = BC$. Это доказывает, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$ и вершиной $C$.
• Прямая $CH$ (которая является частью прямой $h$) перпендикулярна основанию $AB$, значит, $CH$ — высота треугольника, проведенная к основанию, и она лежит на данной прямой $h$.
• По построению, вершина $C$ лежит на прямой, проходящей через точки $B$ и $K$, значит, точка $K$ принадлежит стороне $BC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Сначала строится вершина $B$, симметричная данной вершине $A$ относительно прямой, содержащей высоту. Затем проводится прямая через точку $B$ и данную точку $K$. Вершина $C$ находится в точке пересечения этой прямой с прямой, содержащей высоту. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получаем искомый треугольник.