Номер 660, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

660. Постройте образы фигур, изображённых на рисунке 175, при симметрии относительно прямой $l$.

Рис. 175

Для построения образа фигуры при симметрии относительно прямой (осевой симметрии) необходимо построить образ каждой ее характерной точки. Образ точки $A$ при симметрии относительно прямой $l$ — это такая точка $A'$, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$ и делится ею пополам. В данном случае прямая $l$ горизонтальна и проходит по линиям сетки, что упрощает построение. Для каждой точки исходной фигуры ее образ будет находиться на той же вертикальной линии сетки, но по другую сторону от прямой $l$ и на таком же расстоянии (в клетках).

Треугольник

Чтобы построить образ треугольника, необходимо построить образы трех его вершин и соединить их отрезками.
1. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$.
2. Левая вершина находится на расстоянии 2 клеток выше прямой $l$. Ее образ будет находиться на расстоянии 2 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикали.
3. Верхняя вершина находится на расстоянии 3 клеток выше прямой $l$. Ее образ будет находиться на расстоянии 3 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикали.
4. Правая вершина находится на расстоянии 2 клеток выше прямой $l$. Ее образ будет находиться на расстоянии 2 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикали.
5. Соединив полученные три точки-образа отрезками, мы получим искомый треугольник, симметричный исходному.
Ответ: Искомый образ – треугольник, являющийся "зеркальным отражением" исходного относительно прямой $l$. Его вершины расположены под прямой $l$.

Окружность

Образом окружности при осевой симметрии является окружность с тем же радиусом. Центр новой окружности является образом центра исходной окружности относительно оси симметрии.
1. Находим центр исходной окружности $O$. Он расположен на расстоянии 2 клеток выше прямой $l$.
2. Находим образ центра – точку $O'$. Она будет находиться на расстоянии 2 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикальной линии.
3. Радиус исходной окружности равен 2 клеткам. Радиус симметричной окружности будет таким же.
4. Строим окружность с центром в точке $O'$ и радиусом 2 клетки.
Ответ: Искомый образ – окружность того же радиуса (2 клетки), центр которой находится на 2 клетки ниже прямой $l$ на той же вертикали, что и центр исходной окружности.

Ломаная линия

Для построения образа ломаной линии необходимо построить образы всех ее вершин и соединить их отрезками в той же последовательности.
1. Обозначим вершины ломаной слева направо как $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$.
2. Вершина $P_1$ находится на 2 клетки ниже прямой $l$. Ее образ $P_1'$ будет находиться на 2 клетки выше прямой $l$.
3. Вершина $P_2$ находится на 3 клетки выше прямой $l$. Ее образ $P_2'$ будет находиться на 3 клетки ниже прямой $l$.
4. Вершина $P_3$ находится на 2 клетки выше прямой $l$. Ее образ $P_3'$ будет находиться на 2 клетки ниже прямой $l$.
5. Вершина $P_4$ находится на 3 клетки выше прямой $l$. Ее образ $P_4'$ будет находиться на 3 клетки ниже прямой $l$.
6. Вершина $P_5$ находится на 2 клетки ниже прямой $l$. Ее образ $P_5'$ будет находиться на 2 клетки выше прямой $l$.
7. Соединив последовательно точки $P_1', P_2', P_3', P_4', P_5'$, получим искомую ломаную линию.
Ответ: Искомый образ – ломаная линия, которая является "зеркальным отражением" исходной относительно прямой $l$.

Итоговый результат построения показан на рисунке ниже (образы фигур выделены синим цветом).