Страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Какие фигуры называют симметричными относительно прямой $l$?

Фигуры, симметричные относительно прямой, определяются через понятие симметричных точек.

Две точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $l$, если эта прямая проходит через середину отрезка $AA_1$ и перпендикулярна ему. Прямая $l$ в этом случае является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$. Если точка принадлежит самой прямой $l$, она считается симметричной самой себе.

Исходя из этого, дается определение для фигур. Две фигуры $F$ и $F_1$ называются симметричными относительно прямой $l$, если для каждой точки фигуры $F$ симметричная ей относительно прямой $l$ точка принадлежит фигуре $F_1$, и, наоборот, для каждой точки фигуры $F_1$ симметричная ей точка принадлежит фигуре $F$.

Такое преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в симметричную ей точку относительно прямой $l$, называется осевой симметрией, а прямая $l$ — осью симметрии. Таким образом, можно сказать, что две фигуры симметричны относительно прямой, если одна из них может быть получена из другой преобразованием осевой симметрии относительно этой прямой. Одна фигура является как бы "зеркальным отражением" другой относительно прямой $l$.

Ответ: Две фигуры называют симметричными относительно прямой $l$, если каждая точка одной фигуры является симметричной некоторой точке второй фигуры относительно прямой $l$, и наоборот. Иными словами, если одна фигура является образом другой при преобразовании осевой симметрии с осью $l$.

3. Сформулируйте свойство осевой симметрии.

Осевая симметрия, или отражение относительно прямой, — это вид геометрического преобразования плоскости (или пространства). Пусть задана некоторая прямая $l$, которая называется осью симметрии. Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование, которое каждой точке $M$ плоскости ставит в соответствие такую точку $M'$, что:

• Если точка $M$ лежит на прямой $l$, то она отображается сама в себя ($M' = M$).
• Если точка $M$ не лежит на прямой $l$, то точка $M'$ такова, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Это означает, что отрезок $MM'$ перпендикулярен прямой $l$ и пересекает её в своей середине.

Основным свойством осевой симметрии является то, что это движение (или изометрия). Это значит, что при осевой симметрии сохраняются расстояния между точками. Из этого основного свойства вытекают все остальные:

1. Сохранение расстояний: Если точки $A$ и $B$ отображаются в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$.
2. Преобразование фигур в равные: Любая фигура при осевой симметрии преобразуется в равную ей фигуру. Например, отрезок переходит в равный ему отрезок, треугольник — в равный ему треугольник, окружность — в равную ей окружность.
3. Сохранение коллинеарности: Точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой. Таким образом, прямая переходит в прямую, а луч — в луч.
4. Сохранение углов: Угол между двумя прямыми (или лучами) сохраняется. То есть, угол, образованный фигурой, равен углу, образованному ее образом.
5. Неподвижные точки: Все точки, принадлежащие оси симметрии, являются неподвижными, то есть отображаются сами на себя.
6. Инвариантные прямые: Ось симметрии и любая прямая, ей перпендикулярная, переходят сами в себя (являются инвариантными относительно данного преобразования).
7. Изменение ориентации: Осевая симметрия меняет ориентацию фигур. Например, если обход вершин треугольника $ABC$ осуществлялся по часовой стрелке, то обход симметричных ему вершин $A'B'C'$ будет осуществляться против часовой стрелки.

Ответ: Осевая симметрия — это изометрическое преобразование (движение), которое сохраняет расстояния между точками, а следовательно, преобразует фигуры в равные им фигуры, сохраняя углы, но изменяя ориентацию.

4. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относительно прямой?

Основное свойство фигур, симметричных относительно прямой, заключается в том, что они равны между собой. В геометрии такое свойство называется конгруэнтностью.

Это свойство является прямым следствием определения осевой симметрии. Осевая симметрия — это вид геометрического преобразования, которое относится к движениям (изометриям). Движение — это преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Так как осевая симметрия не изменяет расстояний, она не изменяет ни форму, ни размеры фигуры, а лишь создает ее «зеркальное отражение».

Из того, что симметрия является движением, следуют ключевые моменты:
• Сохранение расстояний: Если взять любые две точки $A$ и $B$ на одной фигуре и их симметричные образы $A'$ и $B'$ на другой фигуре, то длина отрезка $AB$ будет равна длине отрезка $A'B'$ ($AB = A'B'$).
• Сохранение углов: Любой угол в одной фигуре будет равен соответствующему ему углу в симметричной фигуре.
• Сохранение площади: Площади симметричных фигур равны.

Таким образом, если одну из симметричных фигур можно было бы «вынуть» из плоскости, перевернуть и наложить на другую, они бы полностью совпали. Аналогично, если бы плоскость была листом бумаги, то при сгибании по оси симметрии обе фигуры наложились бы друг на друга без зазоров и пересечений.

Ответ: Фигуры, симметричные относительно прямой, равны (конгруэнтны).

5. О какой фигуре говорят, что она имеет ось симметрии?

Говорят, что фигура имеет ось симметрии, если существует такая прямая, которая делит фигуру на две части, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Если мысленно согнуть плоскость по этой прямой, то обе половины фигуры полностью совпадут.

Более строгое определение: фигура $F$ симметрична относительно прямой $l$ (оси симметрии), если для каждой точки $M$, принадлежащей фигуре $F$, точка $M'$, симметричная точке $M$ относительно прямой $l$, также принадлежит фигуре $F$.

Примеры фигур, обладающих осевой симметрией:

• Равнобедренный треугольник: имеет одну ось симметрии — прямую, содержащую высоту, проведенную к основанию.
• Прямоугольник: имеет две оси симметрии, проходящие через середины его противоположных сторон.
• Квадрат: имеет четыре оси симметрии — две проходят через середины противоположных сторон, и две — по диагоналям.
• Окружность: имеет бесконечное множество осей симметрии — любая прямая, проходящая через ее центр.
• Отрезок: имеет две оси симметрии — прямая, на которой он лежит, и его серединный перпендикуляр.

Ответ: Фигура имеет ось симметрии, если существует такая прямая, относительно которой фигура симметрична, то есть эта прямая делит фигуру на две части, которые являются зеркальными отражениями друг друга.

6. Приведите примеры фигур, имеющих ось симметрии.

Осью симметрии фигуры называется такая прямая, которая делит фигуру на две равные части таким образом, что эти части являются зеркальным отражением друг друга относительно этой прямой. Если мысленно согнуть фигуру по оси симметрии, то ее половинки полностью совпадут.

Примеры фигур, имеющих одну или несколько осей симметрии:

• Окружность: имеет бесконечное множество осей симметрии. Любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.
• Квадрат: имеет четыре оси симметрии. Две из них проходят через середины противолежащих сторон, а две другие совпадают с диагоналями.
• Прямоугольник (не являющийся квадратом): имеет две оси симметрии, которые проходят через середины его противоположных сторон.
• Равносторонний треугольник: имеет три оси симметрии. Каждая из них является высотой, медианой и биссектрисой, проведенной из вершины к противоположной стороне.
• Равнобедренный треугольник (не являющийся равносторонним): имеет одну ось симметрии — прямую, содержащую высоту, проведенную к основанию.
• Ромб (не являющийся квадратом): имеет две оси симметрии, которыми являются его диагонали.
• Равнобокая трапеция: имеет одну ось симметрии, проходящую через середины ее оснований.
• Правильный $n$-угольник: имеет $n$ осей симметрии.
• Парабола: имеет одну ось симметрии, проходящую через ее вершину и фокус.
• Некоторые буквы алфавита: например, буква А имеет вертикальную ось симметрии, буква Е — горизонтальную, а буква Ж — и вертикальную, и горизонтальную оси.
• Объекты из окружающего мира: снежинка (как правило, имеет 6 осей симметрии), бабочка, лист клёна, лицо человека (приблизительно).

Ответ: Примерами фигур, имеющих ось симметрии, являются: окружность, квадрат, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб, равнобокая трапеция, правильные многоугольники, парабола, а также некоторые буквы (А, Е, Ж) и природные объекты (снежинка, бабочка).

660. Постройте образы фигур, изображённых на рисунке 175, при симметрии относительно прямой $l$.

Рис. 175

Для построения образа фигуры при симметрии относительно прямой (осевой симметрии) необходимо построить образ каждой ее характерной точки. Образ точки $A$ при симметрии относительно прямой $l$ — это такая точка $A'$, что отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $l$ и делится ею пополам. В данном случае прямая $l$ горизонтальна и проходит по линиям сетки, что упрощает построение. Для каждой точки исходной фигуры ее образ будет находиться на той же вертикальной линии сетки, но по другую сторону от прямой $l$ и на таком же расстоянии (в клетках).

Треугольник

Чтобы построить образ треугольника, необходимо построить образы трех его вершин и соединить их отрезками.
1. Обозначим вершины треугольника как $A$, $B$ и $C$.
2. Левая вершина находится на расстоянии 2 клеток выше прямой $l$. Ее образ будет находиться на расстоянии 2 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикали.
3. Верхняя вершина находится на расстоянии 3 клеток выше прямой $l$. Ее образ будет находиться на расстоянии 3 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикали.
4. Правая вершина находится на расстоянии 2 клеток выше прямой $l$. Ее образ будет находиться на расстоянии 2 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикали.
5. Соединив полученные три точки-образа отрезками, мы получим искомый треугольник, симметричный исходному.
Ответ: Искомый образ – треугольник, являющийся "зеркальным отражением" исходного относительно прямой $l$. Его вершины расположены под прямой $l$.

Окружность

Образом окружности при осевой симметрии является окружность с тем же радиусом. Центр новой окружности является образом центра исходной окружности относительно оси симметрии.
1. Находим центр исходной окружности $O$. Он расположен на расстоянии 2 клеток выше прямой $l$.
2. Находим образ центра – точку $O'$. Она будет находиться на расстоянии 2 клеток ниже прямой $l$ на той же вертикальной линии.
3. Радиус исходной окружности равен 2 клеткам. Радиус симметричной окружности будет таким же.
4. Строим окружность с центром в точке $O'$ и радиусом 2 клетки.
Ответ: Искомый образ – окружность того же радиуса (2 клетки), центр которой находится на 2 клетки ниже прямой $l$ на той же вертикали, что и центр исходной окружности.

Ломаная линия

Для построения образа ломаной линии необходимо построить образы всех ее вершин и соединить их отрезками в той же последовательности.
1. Обозначим вершины ломаной слева направо как $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$.
2. Вершина $P_1$ находится на 2 клетки ниже прямой $l$. Ее образ $P_1'$ будет находиться на 2 клетки выше прямой $l$.
3. Вершина $P_2$ находится на 3 клетки выше прямой $l$. Ее образ $P_2'$ будет находиться на 3 клетки ниже прямой $l$.
4. Вершина $P_3$ находится на 2 клетки выше прямой $l$. Ее образ $P_3'$ будет находиться на 2 клетки ниже прямой $l$.
5. Вершина $P_4$ находится на 3 клетки выше прямой $l$. Ее образ $P_4'$ будет находиться на 3 клетки ниже прямой $l$.
6. Вершина $P_5$ находится на 2 клетки ниже прямой $l$. Ее образ $P_5'$ будет находиться на 2 клетки выше прямой $l$.
7. Соединив последовательно точки $P_1', P_2', P_3', P_4', P_5'$, получим искомую ломаную линию.
Ответ: Искомый образ – ломаная линия, которая является "зеркальным отражением" исходной относительно прямой $l$.

Итоговый результат построения показан на рисунке ниже (образы фигур выделены синим цветом).

661. Начертите треугольник. Постройте треугольник, симметричный ему относительно прямой, содержащей одну из его средних линий.

Для построения треугольника, симметричного заданному относительно прямой, содержащей одну из его средних линий, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на принципе осевой симметрии.

1. Построение исходного треугольника и средней линии

Сначала начертите произвольный треугольник, обозначив его вершины как $A$, $B$ и $C$. Затем выберите одну из его средних линий. Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Например, найдем середину стороны $AB$ (назовем ее точкой $M$) и середину стороны $BC$ (назовем ее точкой $N$). Соединив точки $M$ и $N$, мы получим среднюю линию $MN$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, будет являться осью симметрии.

2. Построение симметричных вершин

Чтобы построить новый треугольник $\triangle A'B'C'$, нужно найти симметричные отражения для каждой вершины исходного треугольника $\triangle ABC$ относительно прямой $MN$.

• Построение точки $A'$: Из точки $A$ опустите перпендикуляр на прямую $MN$. Обозначьте точку пересечения как $H_A$. На продолжении этого перпендикуляра за точку $H_A$ отложите отрезок $H_A A'$, длина которого равна длине отрезка $AH_A$. Точка $A'$ является симметричным отражением точки $A$.

• Построение точки $B'$: Аналогично, из точки $B$ опустите перпендикуляр на прямую $MN$ до точки пересечения $H_B$. Затем на продолжении перпендикуляра отложите отрезок $H_B B'$ такой, чтобы его длина была равна длине отрезка $BH_B$.

• Построение точки $C'$: Повторите ту же процедуру для вершины $C$. Опустите перпендикуляр из $C$ на прямую $MN$ в точку $H_C$ и отложите на его продолжении равный отрезок $H_C C'$.

3. Построение искомого треугольника

После того как все три симметричные вершины $A'$, $B'$, $C'$ найдены, соедините их отрезками. Полученный треугольник $\triangle A'B'C'$ и есть искомый треугольник, симметричный $\triangle ABC$ относительно прямой, содержащей его среднюю линию $MN$. По свойству осевой симметрии, треугольник $\triangle A'B'C'$ будет равен (конгруэнтен) треугольнику $\triangle ABC$.

Ответ: Для решения задачи необходимо начертить треугольник, построить одну из его средних линий и провести через нее прямую. Затем для каждой из трех вершин исходного треугольника нужно построить симметричную ей точку относительно этой прямой. Соединив три полученные точки, мы получим искомый треугольник.

662. Точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$ (рис. 176). Постройте прямую $l$.

Рис. 175

Рис. 176

По определению, если две точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$, то эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Это означает, что прямая $l$ проходит через середину отрезка $AB$ и перпендикулярна ему.

Чтобы построить прямую $l$, необходимо выполнить следующие шаги, используя циркуль и линейку:
1. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком прямой линии.
2. Установить на циркуле радиус, который будет заведомо больше половины длины отрезка $AB$.
3. Поставить острие циркуля в точку $A$ и провести дугу окружности этим радиусом.
4. Не меняя радиус циркуля, поставить его острие в точку $B$ и провести вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух местах.
5. Обозначим точки пересечения дуг, например, как $P$ и $Q$.
6. С помощью линейки провести прямую через точки $P$ и $Q$.

Построенная прямая $PQ$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и, следовательно, является искомой прямой симметрии $l$.

Ответ: Искомая прямая $l$ — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $A$ и $B$. Для её построения нужно соединить точки $A$ и $B$ отрезком, а затем провести прямую, проходящую через середину этого отрезка и перпендикулярную ему, как описано в алгоритме выше.

663. Проведите пересекающиеся прямые $a$ и $a_1$. Постройте прямую, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$. Сколько решений имеет задача?

Пусть даны две пересекающиеся в точке $O$ прямые $a$ и $a_1$. Требуется построить прямую $l$, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$. Такая прямая $l$ называется осью симметрии.

Постройте прямую, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$.

Искомая прямая является биссектрисой угла, образованного данными прямыми $a$ и $a_1$.

Обоснование:

1. Пусть $l$ - искомая ось симметрии. Точка пересечения $O$ прямых $a$ и $a_1$ принадлежит обеим прямым. При симметрии относительно $l$ образ прямой $a$ есть прямая $a_1$. Значит, образ точки $O$ (лежащей на $a$) должен лежать на $a_1$. В то же время, так как $O$ лежит и на $a_1$, ее образ должен лежать на $a$. Единственная точка, принадлежащая и $a$, и $a_1$ - это $O$. Следовательно, точка $O$ отображается на себя, а значит, лежит на оси симметрии $l$.

2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$, не совпадающую с $O$. Точка $A_1$, симметричная точке $A$ относительно $l$, по условию лежит на прямой $a_1$. По определению осевой симметрии, $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AA_1$. Это означает, что для любой точки $M$ на прямой $l$ выполняется равенство $MA = MA_1$. Так как $O$ лежит на $l$, то $OA = OA_1$. Следовательно, треугольник $AOA_1$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике $AOA_1$ ось симметрии $l$ является медианой и высотой, проведенной к основанию $AA_1$, а значит, и биссектрисой угла $\angle AOA_1$.

Алгоритм построения:

1. Найти точку пересечения $O$ прямых $a$ и $a_1$.

2. Построить биссектрису любого из четырёх углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $a_1$.

Построенная биссектриса и будет искомой прямой.

Ответ: искомая прямая — это биссектриса угла, образованного прямыми $a$ и $a_1$.

Сколько решений имеет задача?

При пересечении двух прямых образуются две пары равных между собой вертикальных углов. Соответственно, можно построить две различные биссектрисы:

1. Биссектрису одной пары вертикальных углов.

2. Биссектрису другой пары вертикальных углов (смежных с первыми).

Эти две биссектрисы взаимно перпендикулярны. Каждая из них является осью симметрии, относительно которой прямая $a_1$ симметрична прямой $a$.

Ответ: задача имеет два решения.

664. Проведите параллельные прямые $a$ и $a_1$. Постройте прямую, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $a_1$. Прямая, относительно которой прямая $a_1$ будет симметрична прямой $a$, является осью симметрии. По определению осевой симметрии, каждая точка одной прямой должна быть симметрична некоторой точке другой прямой относительно этой оси.

Для двух параллельных прямых осью симметрии будет прямая, также параллельная им и находящаяся на равном расстоянии от каждой из них.

Чтобы построить такую прямую, нужно выполнить следующие шаги:
1. Выбрать произвольную точку $A$ на прямой $a$.
2. Провести через точку $A$ прямую, перпендикулярную прямой $a$. Поскольку $a \parallel a_1$, эта прямая будет перпендикулярна и прямой $a_1$.
3. Обозначить точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $a_1$ как $A_1$. Таким образом, отрезок $AA_1$ является общим перпендикуляром к двум прямым.
4. Найти середину отрезка $AA_1$. Обозначим эту точку $M$.
5. Провести через точку $M$ прямую $s$, параллельную прямым $a$ и $a_1$. Это можно сделать, проведя через $M$ прямую, перпендикулярную отрезку $AA_1$.

Построенная прямая $s$ будет равноудалена от прямых $a$ и $a_1$, и, следовательно, будет являться искомой осью симметрии.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, которая параллельна данным прямым $a$ и $a_1$ и проходит ровно посередине между ними.

665. Постройте ромб $ABCD$ по его вершинам $B$ и $C$ и прямой $l$, содержащей его диагональ $BD$ (рис. 177).

Для построения ромба $ABCD$ по заданным вершинам $B$ и $C$ и прямой $l$, содержащей диагональ $BD$, выполним следующие шаги: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

В ромбе все стороны равны. Поскольку нам даны вершины $B$ и $C$, длина стороны ромба равна длине отрезка $BC$. Обозначим эту длину как $R$. Таким образом, $AB = BC = CD = DA = R$.

Вершина $D$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой $l$.
2. Расстояние от нее до вершины $C$ равно длине стороны ромба, то есть $CD = BC = R$.

Следовательно, точка $D$ является точкой пересечения прямой $l$ и окружности с центром в точке $C$ и радиусом $R=BC$.

Вершина $A$ также должна удовлетворять двум условиям:

1. Расстояние от нее до вершины $B$ равно $R$, то есть $AB = BC = R$.
2. Расстояние от нее до вершины $D$ равно $R$, то есть $AD = BC = R$.

Следовательно, точка $A$ является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в $B$ и радиусом $R$, и другой с центром в $D$ и радиусом $R$.

Построение

1. Соединим точки $B$ и $C$. Длина отрезка $BC$ является стороной искомого ромба.
2. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине отрезка $BC$.
3. Найдем точки пересечения построенной окружности с прямой $l$. В зависимости от расположения точки $C$ и прямой $l$ может быть две, одна или ни одной такой точки. Выберем одну из точек пересечения и обозначим ее как $D$. Это будет третья вершина ромба.
4. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $BC$.
5. Построим окружность с центром в точке $D$ и радиусом $BC$.
6. Найдем точку пересечения двух последних окружностей. Одна из точек пересечения (та, что образует выпуклый четырехугольник $ABCD$) будет искомой вершиной $A$.
7. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Ответ: Построение выполнено.

Доказательство

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

• Сторона $BC$ является базовой по условию.
• Точка $D$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $BC$, следовательно, $CD = BC$.
• Точка $A$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $BC$, следовательно, $AB = BC$.
• Точка $A$ также лежит на окружности с центром $D$ и радиусом $BC$ (так как $CD=BC$), следовательно, $AD = BC$.

Таким образом, мы имеем $AB = BC = CD = DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом по определению. Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — ромб.

Ответ: Построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом.

Исследование

Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения окружности с центром в $C$ и радиусом $R=BC$ с прямой $l$. Пусть $h$ — расстояние от точки $C$ до прямой $l$.

• Если расстояние от точки $C$ до прямой $l$ больше длины отрезка $BC$ ($h > BC$), то окружность и прямая не пересекаются. В этом случае решений нет.
• Если расстояние от точки $C$ до прямой $l$ равно длине отрезка $BC$ ($h = BC$), то окружность касается прямой в одной точке. Эта точка будет единственным возможным положением для вершины $D$. Следовательно, задача имеет одно решение.
• Если расстояние от точки $C$ до прямой $l$ меньше длины отрезка $BC$ ($h < BC$), то окружность пересекает прямую в двух точках ($D_1$ и $D_2$). Каждая из этих точек может быть вершиной ромба, что приводит к построению двух разных ромбов ($A_1BCD_1$ и $A_2BCD_2$). Следовательно, задача имеет два решения.

На рисунке 177 видно, что расстояние от точки $C$ до прямой $l$ меньше, чем длина отрезка $BC$, поэтому в данном конкретном случае задача имеет два решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от взаимного расположения точки $C$, прямой $l$ и длины отрезка $BC$.