Номер 661, страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

661. Начертите треугольник. Постройте треугольник, симметричный ему относительно прямой, содержащей одну из его средних линий.

Для построения треугольника, симметричного заданному относительно прямой, содержащей одну из его средних линий, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на принципе осевой симметрии.

1. Построение исходного треугольника и средней линии

Сначала начертите произвольный треугольник, обозначив его вершины как $A$, $B$ и $C$. Затем выберите одну из его средних линий. Средняя линия соединяет середины двух сторон треугольника. Например, найдем середину стороны $AB$ (назовем ее точкой $M$) и середину стороны $BC$ (назовем ее точкой $N$). Соединив точки $M$ и $N$, мы получим среднюю линию $MN$. Прямая, проходящая через точки $M$ и $N$, будет являться осью симметрии.

2. Построение симметричных вершин

Чтобы построить новый треугольник $\triangle A'B'C'$, нужно найти симметричные отражения для каждой вершины исходного треугольника $\triangle ABC$ относительно прямой $MN$.

• Построение точки $A'$: Из точки $A$ опустите перпендикуляр на прямую $MN$. Обозначьте точку пересечения как $H_A$. На продолжении этого перпендикуляра за точку $H_A$ отложите отрезок $H_A A'$, длина которого равна длине отрезка $AH_A$. Точка $A'$ является симметричным отражением точки $A$.

• Построение точки $B'$: Аналогично, из точки $B$ опустите перпендикуляр на прямую $MN$ до точки пересечения $H_B$. Затем на продолжении перпендикуляра отложите отрезок $H_B B'$ такой, чтобы его длина была равна длине отрезка $BH_B$.

• Построение точки $C'$: Повторите ту же процедуру для вершины $C$. Опустите перпендикуляр из $C$ на прямую $MN$ в точку $H_C$ и отложите на его продолжении равный отрезок $H_C C'$.

3. Построение искомого треугольника

После того как все три симметричные вершины $A'$, $B'$, $C'$ найдены, соедините их отрезками. Полученный треугольник $\triangle A'B'C'$ и есть искомый треугольник, симметричный $\triangle ABC$ относительно прямой, содержащей его среднюю линию $MN$. По свойству осевой симметрии, треугольник $\triangle A'B'C'$ будет равен (конгруэнтен) треугольнику $\triangle ABC$.

Ответ: Для решения задачи необходимо начертить треугольник, построить одну из его средних линий и провести через нее прямую. Затем для каждой из трех вершин исходного треугольника нужно построить симметричную ей точку относительно этой прямой. Соединив три полученные точки, мы получим искомый треугольник.