Номер 659, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

659. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит большую из боковых сторон трапеции на отрезки 4 см и 25 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle A = \angle B = 90^\circ$. Тогда $AB$ — меньшая боковая сторона и высота трапеции, а $CD$ — большая боковая сторона. $AD$ и $BC$ — основания трапеции.

Пусть в трапецию вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$. Высота трапеции, $h$, равна диаметру вписанной окружности: $h = AB = 2r$.

Пусть точка касания $K$ на стороне $CD$ делит её на отрезки $CK = 4$ см и $KD = 25$ см. Тогда длина стороны $CD$ равна:

$CD = CK + KD = 4 + 25 = 29$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Поскольку центр вписанной окружности лежит на биссектрисах углов, отрезки $CO$ и $DO$ являются биссектрисами углов $\angle BCD$ и $\angle ADC$ соответственно.

Так как $BC \parallel AD$, сумма углов при боковой стороне трапеции равна $180^\circ$:

$\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$

В треугольнике $\triangle COD$ сумма углов $\angle OCD$ и $\angle ODC$ равна:

$\angle OCD + \angle ODC = \frac{1}{2}\angle BCD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Следовательно, третий угол треугольника $\triangle COD$ равен:

$\angle COD = 180^\circ - (\angle OCD + \angle ODC) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

Таким образом, треугольник $\triangle COD$ — прямоугольный.

Отрезок $OK$ является радиусом, проведенным в точку касания, поэтому $OK \perp CD$. Значит, $OK$ — высота в прямоугольном треугольнике $\triangle COD$, проведенная к гипотенузе $CD$.

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике, её квадрат равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

$OK^2 = CK \cdot KD$

Так как $OK = r$, получаем:

$r^2 = 4 \cdot 25 = 100$

$r = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем высоту трапеции:

$h = 2r = 2 \cdot 10 = 20$ см.

В трапецию можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:

$AD + BC = AB + CD$

$AD + BC = h + CD = 20 + 29 = 49$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S = \frac{49}{2} \cdot 20 = 49 \cdot 10 = 490$ см$^2$.

Ответ: 490 см$^2$.