Номер 654, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

654. Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную данному отрезку $AB$.

Для решения этой задачи на построение, разобьем его на несколько этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, а также отрезок $AB$. Нам необходимо построить хорду $CD$ этой окружности так, чтобы выполнялись два условия: $CD \parallel AB$ и $|CD| = |AB|$.

Из свойств окружности известно, что равные хорды находятся на равном расстоянии от центра. Следовательно, если мы найдем расстояние от центра $O$ до искомой хорды $CD$, мы сможем определить ее положение. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $OC$, половиной хорды (пусть $M$ — середина $CD$) и отрезком $OM$, соединяющим центр с серединой хорды. В этом треугольнике $OC$ — гипотенуза ($R$), $CM$ — катет ($|CD|/2 = |AB|/2$), а $OM$ — второй катет ($d$). По теореме Пифагора, $d = |OM| = \sqrt{R^2 - (|CD|/2)^2} = \sqrt{R^2 - (|AB|/2)^2}$. Таким образом, расстояние от центра до хорды зависит только от ее длины.

Также известно, что все хорды, параллельные данной прямой (в нашем случае, прямой $AB$), имеют свои середины на диаметре, перпендикулярном этой прямой. Таким образом, середина искомой хорды $CD$ должна лежать на прямой, проходящей через центр $O$ и перпендикулярной $AB$.

Совместив эти два факта, мы можем составить план построения:
1. Найти расстояние $d$ от центра до хорды длиной $|AB|$.
2. Провести через центр $O$ прямую, перпендикулярную $AB$.
3. На этой прямой отложить от точки $O$ расстояние $d$, получив середину искомой хорды.
4. Через полученную точку провести прямую, параллельную $AB$. Ее пересечение с окружностью и даст искомую хорду.

Построение

Пусть дана окружность с центром $O$ и отрезок $AB$.

1. Для нахождения расстояния $d$ построим вспомогательную хорду, равную $AB$. Выберем на окружности произвольную точку $A'$ и построим окружность с центром в $A'$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$. Точка пересечения этой окружности с данной окружностью даст нам точку $B'$. Хорда $A'B'$ равна отрезку $AB$.
2. Найдем середину хорды $A'B'$ (например, построив серединный перпендикуляр к ней) и обозначим ее $M'$. Длина отрезка $OM'$ и есть искомое расстояние $d$.
3. Теперь найдем прямую, на которой будет лежать середина искомой хорды. Для этого через центр окружности $O$ проведем прямую $l$, перпендикулярную прямой, содержащей отрезок $AB$.
4. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $d = |OM'|$. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках (или в одной, если $d=0$), назовем их $M_1$ и $M_2$.
5. Через точку $M_1$ проведем прямую $c_1$, перпендикулярную прямой $l$. Так как $l \perp AB$, то $c_1 \parallel AB$. Прямая $c_1$ пересечет исходную окружность в точках $C$ и $D$.
6. Аналогично через точку $M_2$ проведем прямую $c_2$, перпендикулярную прямой $l$. Она также будет параллельна $AB$ и пересечет окружность в точках $E$ и $F$.

Хорды $CD$ и $EF$ являются искомыми.

Доказательство

Рассмотрим построенную хорду $CD$. По построению, прямая $CD$ (прямая $c_1$) перпендикулярна прямой $l$. Прямая, содержащая отрезок $AB$, также перпендикулярна $l$. Следовательно, $CD \parallel AB$. Первое условие выполнено.

Расстояние от центра $O$ до хорды $CD$ равно $|OM_1|$. По построению, $|OM_1| = d = |OM'|$. Расстояние от центра $O$ до вспомогательной хорды $A'B'$ равно $|OM'|$. Так как хорды $CD$ и $A'B'$ равноудалены от центра окружности, их длины равны: $|CD| = |A'B'|$.

По построению, длина хорды $A'B'$ была сделана равной длине отрезка $AB$. Таким образом, $|CD| = |AB|$. Второе условие также выполнено. Аналогичное доказательство справедливо и для хорды $EF$.

Исследование

Задача имеет решение не всегда. Решение существует только в том случае, если длина отрезка $AB$ не превышает диаметр окружности, то есть $|AB| \le 2R$.

• Если $|AB| > 2R$, то построить хорду такой длины невозможно. В этом случае $R^2 - (|AB|/2)^2 < 0$, и расстояние $d$ не является действительным числом. Задача не имеет решений.
• Если $|AB| = 2R$, то есть длина отрезка равна диаметру, то расстояние $d=0$. Точки $M_1$ и $M_2$ совпадают с центром $O$. Через $O$ проводится единственная прямая, параллельная $AB$, которая образует хорду-диаметр. Задача имеет одно решение.
• Если $|AB| < 2R$, то расстояние $d$ — положительное число, меньшее $R$. В этом случае существуют две точки $M_1$ и $M_2$, симметричные относительно центра $O$. Это приводит к построению двух искомых хорд. Задача имеет два решения.

Ответ: Построение выполнено и описано выше. Задача имеет два решения, если $|AB| < 2R$; одно решение, если $|AB| = 2R$; и не имеет решений, если $|AB| > 2R$.