Номер 653, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

653. Постройте отрезок, равный и параллельный данному отрезку $AB$, так, чтобы один его конец принадлежал данной прямой, а другой – данной окружности.

Задача решается методом параллельного переноса. Искомый отрезок, назовем его $CD$, должен удовлетворять следующим условиям:

1. Один его конец, пусть это будет точка $C$, принадлежит данной прямой $l$ ($C \in l$).
2. Другой его конец, точка $D$, принадлежит данной окружности $\omega$ ($D \in \omega$).
3. Отрезок $CD$ параллелен данному отрезку $AB$ ($CD \parallel AB$).
4. Длина отрезка $CD$ равна длине отрезка $AB$ ($|CD| = |AB|$).

Условия 3 и 4, взятые вместе, означают, что векторы, определяющие эти отрезки, либо равны, либо противоположно направлены, то есть $\vec{CD} = \vec{AB}$ или $\vec{CD} = \vec{BA}$. Рассмотрим оба этих случая.

Анализ

Идея решения заключается в том, чтобы свести задачу к нахождению точки, принадлежащей двум известным геометрическим местам.

Случай 1: $\vec{CD} = \vec{AB}$. Это равенство означает, что точка $D$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Обозначим этот перенос как $T_{\vec{AB}}$, тогда $D = T_{\vec{AB}}(C)$. По условию, точка $C$ должна лежать на прямой $l$. Когда точка $C$ пробегает все точки прямой $l$, ее образ — точка $D$ — пробегает все точки некоторой прямой $l'$, которая является образом прямой $l$ при данном переносе ($l' = T_{\vec{AB}}(l)$). Прямая $l'$ параллельна прямой $l$. С другой стороны, по условию точка $D$ должна лежать на окружности $\omega$. Следовательно, искомая точка $D$ является точкой пересечения прямой $l'$ и окружности $\omega$.

Случай 2: $\vec{CD} = \vec{BA}$. Аналогично первому случаю, точка $D$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BA}$ ($D = T_{\vec{BA}}(C)$). Геометрическим местом таких точек $D$ является прямая $l'' = T_{\vec{BA}}(l)$, также параллельная $l$. Искомая точка $D$ должна одновременно принадлежать прямой $l''$ и окружности $\omega$, то есть являться их точкой пересечения.

Построение

1. Построение для случая $\vec{CD} = \vec{AB}$:
   1. Строим прямую $l'$ — образ прямой $l$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Для этого можно выбрать на прямой $l$ произвольную точку $P$, построить ее образ $P'$ (так, чтобы $\vec{PP'} = \vec{AB}$, например, построив параллелограмм $AB P'P$) и провести через точку $P'$ прямую $l'$, параллельную $l$.
   2. Находим точки пересечения построенной прямой $l'$ и данной окружности $\omega$. В зависимости от их взаимного расположения, таких точек (назовем их $D_i$) может быть ноль, одна или две.
   3. Для каждой найденной точки $D_i$ строим соответствующую ей точку $C_i$ с помощью обратного параллельного переноса, то есть на вектор $\vec{BA}$. Таким образом, $C_i = T_{\vec{BA}}(D_i)$.
   4. Каждый построенный отрезок $C_iD_i$ является решением задачи.
2. Построение для случая $\vec{CD} = \vec{BA}$:
   1. Строим прямую $l''$ — образ прямой $l$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BA}$.
   2. Находим точки пересечения прямой $l''$ и окружности $\omega$. Обозначим эти точки $D'_j$.
   3. Для каждой точки $D'_j$ строим соответствующую точку $C'_j$ с помощью переноса на вектор $\vec{AB}$ ($C'_j = T_{\vec{AB}}(D'_j)$).
   4. Каждый построенный отрезок $C'_jD'_j$ также является решением задачи.

Доказательство

Проверим, что любой из построенных отрезков, например $C_1D_1$, удовлетворяет всем условиям задачи.

• Точка $D_1$ лежит на окружности $\omega$ по построению (как точка пересечения $l'$ и $\omega$).
• Точка $C_1$ была построена так, что $C_1 = T_{\vec{BA}}(D_1)$, что равносильно $\vec{C_1D_1} = \vec{AB}$. Отсюда следует, что отрезок $C_1D_1$ равен по длине и параллелен отрезку $AB$.
• Точка $D_1$ лежит на прямой $l'$, являющейся образом прямой $l$ при переносе $T_{\vec{AB}}$. Так как $C_1$ является прообразом точки $D_1$ при этом переносе ($C_1 = T_{-\vec{AB}}(D_1)$), то $C_1$ должна лежать на прообразе прямой $l'$, то есть на прямой $l$.

Таким образом, все условия задачи выполнены. Доказательство для остальных отрезков аналогично.

Исследование

Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения прямых $l'$ и $l''$ с окружностью $\omega$.

• В первом случае ($\vec{CD} = \vec{AB}$) может быть 0, 1 или 2 решения, в зависимости от того, не пересекает ли прямая $l'$ окружность, касается ли ее или является секущей.
• Во втором случае ($\vec{CD} = \vec{BA}$) также может быть 0, 1 или 2 решения.

Общее число решений равно сумме числа решений в обоих случаях. В общем случае, когда прямые $l'$ и $l''$ различны, задача может иметь от 0 до 4 решений. Например, если обе прямые являются секущими для окружности, будет 4 решения. Если одна прямая — касательная, а вторая не пересекает окружность — 1 решение. В частном случае, когда вектор $\vec{AB}$ параллелен прямой $l$, прямые $l', l''$ и $l$ совпадают ($l'=l''=l$). Тогда для каждой точки пересечения прямой $l$ с окружностью (если они есть) можно построить два искомых отрезка (в двух противоположных направлениях), и общее число решений будет 0, 2 или 4.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Он заключается в построении образов данной прямой при двух параллельных переносах (на векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$) и нахождении точек пересечения этих образов с данной окружностью. В зависимости от взаимного расположения исходных фигур, задача может иметь от 0 до 4 решений.