Номер 658, страница 159 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

658. Докажите, что четырёхугольник с вершинами $A (-3; -4)$, $B (0; 3)$, $C (7; 6)$ и $D (4; -1)$ является ромбом, и найдите его площадь.

Доказательство, что четырёхугольник является ромбом

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо показать, что все его стороны имеют одинаковую длину. Длину отрезка между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на плоскости можно найти по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Даны координаты вершин: A(-3; -4), B(0; 3), C(7; 6), D(4; -1).

Вычислим длины каждой стороны четырёхугольника:

1. Длина стороны AB:

$AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (3 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

2. Длина стороны BC:

$BC = \sqrt{(7 - 0)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

3. Длина стороны CD:

$CD = \sqrt{(4 - 7)^2 + (-1 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$.

4. Длина стороны DA:

$DA = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (-4 - (-1))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$.

Поскольку $AB = BC = CD = DA = \sqrt{58}$, все стороны четырёхугольника равны. Следовательно, четырёхугольник ABCD является ромбом.

Ответ: Утверждение, что четырёхугольник является ромбом, доказано.

Нахождение площади ромба

Площадь ромба можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$. Диагоналями данного ромба являются отрезки AC и BD.

1. Найдём длину диагонали AC:

$AC = \sqrt{(7 - (-3))^2 + (6 - (-4))^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}$.

2. Найдём длину диагонали BD:

$BD = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

3. Вычислим площадь ромба, подставив длины диагоналей в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 2 = 40$.

Ответ: Площадь ромба равна 40.