Номер 652, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

652. Постройте трапецию по четырём сторонам.

Для построения трапеции по четырём сторонам используется метод сведения задачи к построению треугольника. Решение состоит из анализа, построения, доказательства и исследования.

Анализ

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причём $AD \parallel BC$. Обозначим длины сторон: $AD=a$, $BC=b$, $AB=c$, $CD=d$. Предположим, для определённости, что $a > b$.

Проведём через вершину $C$ прямую, параллельную боковой стороне $AB$. Пусть эта прямая пересекает большее основание $AD$ в точке $K$. Поскольку $BC \parallel AD$ (по определению трапеции) и $CK \parallel AB$ (по построению), четырёхугольник $ABCK$ является параллелограммом.

Из свойств параллелограмма следует, что $AK = BC = b$ и $CK = AB = c$.

Точка $K$ лежит на отрезке $AD$, поэтому длина отрезка $KD$ равна разности длин оснований: $KD = AD - AK = a - b$.

В результате мы получаем треугольник $CKD$, у которого известны длины всех трёх сторон: $CK=c$, $CD=d$ и $KD=a-b$. Таким образом, задача построения трапеции сводится к построению этого треугольника.

Ответ: Построение трапеции сводится к построению треугольника со сторонами, равными двум непараллельным сторонам трапеции и разности длин её оснований.

Построение

Пусть даны четыре отрезка с длинами $a, b, c, d$. Построим трапецию, у которой основания имеют длины $a$ и $b$ (пусть $a>b$), а боковые стороны — $c$ и $d$.

1. На произвольной прямой отложим отрезок $KD$, длина которого равна $a-b$. (Для этого на отрезке длины $a$ от одного из концов откладываем отрезок длины $b$).
2. Построим треугольник $CKD$ по трём сторонам: $KD = a-b$, $CK = c$ и $CD = d$. Для этого:
   • Проведём окружность с центром в точке $K$ и радиусом $c$.
   • Проведём окружность с центром в точке $D$ и радиусом $d$.
   • Точка $C$, одна из точек пересечения этих окружностей, будет третьей вершиной треугольника.
3. На луче $DK$ от точки $K$ отложим отрезок $KA$ длиной $b$. В результате получим большее основание трапеции $AD = AK+KD = b + (a-b) = a$.
4. Через точку $C$ проведём прямую, параллельную прямой $AD$.
5. На этой прямой от точки $C$ отложим отрезок $CB$ длиной $b$ так, чтобы четырёхугольник $ABCK$ был параллелограммом (т.е. $\vec{CB} = \vec{KA}$). Это даст нам четвёртую вершину трапеции $B$.
6. Соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырёхугольник $ABCD$ — искомая трапеция.

Ответ: Трапеция $ABCD$ построена в соответствии с описанным алгоритмом.

Доказательство

Проверим, что построенный четырёхугольник $ABCD$ является трапецией с заданными сторонами.

По построению, сторона $AD = AK + KD = b + (a-b) = a$. Сторона $CD$ равна $d$ (как радиус окружности с центром $D$).

Прямая $BC$ была проведена параллельно прямой $AD$, следовательно, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$.

Длина стороны $BC$ по построению равна $b$.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCK$. В нём $AK \parallel BC$ и $AK=BC=b$. Если у четырёхугольника две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Значит, $ABCK$ — параллелограмм.

Из свойства параллелограмма следует, что $AB = CK$. По построению треугольника $CKD$ сторона $CK$ равна $c$. Следовательно, $AB = c$.

Таким образом, построенный четырёхугольник $ABCD$ является трапецией со сторонами $a, b, c, d$.

Ответ: Построенная фигура действительно является трапецией с заданными длинами сторон.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построить треугольник $CKD$ со сторонами $c, d$ и $|a-b|$. Для этого необходимо, чтобы для длин этих сторон выполнялось неравенство треугольника. Если $a>b$, то должны выполняться три условия:

• $c + d > a-b$
• $c + (a-b) > d$
• $d + (a-b) > c$

Если $c+d > a-b$, то окружности в п.2 построения пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $AD$. Это даёт два решения — две конгруэнтные трапеции, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. В этом случае задача имеет единственное решение с точностью до конгруэнтности.

Если $c+d = a-b$, то окружности коснутся в одной точке, лежащей на прямой $AD$. В этом случае трапеция будет вырожденной (её высота равна нулю).

Если $c+d < a-b$, то окружности не пересекутся, и построение треугольника $CKD$ (а значит, и трапеции) невозможно. Задача не имеет решений.

Следует также отметить, что в условии не указано, какие из сторон являются основаниями. Если в качестве оснований можно выбрать любую пару из четырёх данных сторон, то возможно существование нескольких различных (неконгруэнтных) трапеций, для каждой из которых должны выполняться свои условия существования.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если сумма длин боковых сторон больше модуля разности длин оснований, и если для этих трёх длин (две боковые стороны и разность оснований) выполняются остальные неравенства треугольника.