Номер 645, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

645. Рассмотрим фигуру, состоящую из всех точек, принадлежащих сторонам прямоугольника. Опишите какое-нибудь преобразование, при котором образом этой фигуры является фигура, состоящая из всех точек сторон ромба.

Для того чтобы преобразовать фигуру, состоящую из всех точек сторон прямоугольника, в фигуру, состоящую из всех точек сторон ромба, можно использовать аффинное преобразование, которое называется сдвигом. Опишем этот процесс подробно.

Исходная фигура и ее расположение
Сначала разместим прямоугольник в декартовой системе координат. Пусть его центр находится в начале координат, а вершины имеют координаты $A(-a, -b)$, $B(a, -b)$, $C(a, b)$ и $D(-a, b)$, где $a > 0$ и $b > 0$ — половины длин его сторон. Стороны прямоугольника, таким образом, параллельны осям координат. Без ограничения общности будем считать, что горизонтальная сторона не короче вертикальной, то есть $a \ge b$. Если $a = b$, прямоугольник является квадратом, который также является и ромбом, и в качестве преобразования можно взять тождественное (не изменяющее фигуру). Поэтому рассмотрим нетривиальный случай, когда $a > b$.

Преобразование сдвига
Применим к каждой точке $(x, y)$ плоскости преобразование горизонтального сдвига (shear mapping). Оно задается следующими формулами:
$x' = x + ky$
$y' = y$
где $k$ — это некоторый действительный коэффициент, который определяет величину сдвига. Наша задача — найти такое значение $k$, при котором прямоугольник превратится в ромб.

Применение преобразования и нахождение коэффициента
При таком преобразовании горизонтальные стороны прямоугольника ($y=-b$ и $y=b$) остаются горизонтальными и равными по длине ($2a$), но смещаются по горизонтали. Вертикальные стороны ($x=-a$ и $x=a$) преобразуются в наклонные отрезки. Вся фигура преобразуется в параллелограмм с вершинами в точках $A'(-a-kb, -b)$, $B'(a-kb, -b)$, $C'(a+kb, b)$ и $D'(-a+kb, b)$.
Чтобы этот параллелограмм был ромбом, необходимо, чтобы длины его смежных сторон были равны. Найдем и приравняем квадраты длин смежных сторон, например, $B'C'$ и $C'D'$.
Квадрат длины стороны $C'D'$, которая является образом горизонтальной стороны $CD$ и параллельна оси $Ox$:
$L_{C'D'}^2 = ((a+kb) - (-a+kb))^2 + (b-b)^2 = (2a)^2 = 4a^2$.
Квадрат длины стороны $B'C'$, которая является образом вертикальной стороны $BC$ и становится наклонной:
$L_{B'C'}^2 = ((a+kb) - (a-kb))^2 + (b-(-b))^2 = (2kb)^2 + (2b)^2 = 4k^2b^2 + 4b^2$.
Приравниваем квадраты длин:
$4a^2 = 4k^2b^2 + 4b^2$
$a^2 = b^2(k^2+1)$
$k^2+1 = \frac{a^2}{b^2}$
$k^2 = \frac{a^2}{b^2} - 1$
Отсюда находим коэффициент сдвига:
$k = \pm\sqrt{(\frac{a}{b})^2 - 1}$
Так как мы приняли $a > b$, выражение под корнем положительно, и, следовательно, такое действительное значение $k$ всегда существует.

Итоговое описание преобразования
Таким образом, преобразование, переводящее контур прямоугольника в контур ромба, можно описать следующим образом:
1. Размещаем прямоугольник в системе координат так, чтобы его центр был в начале координат, а стороны длиной $2a$ и $2b$ были параллельны осям $Ox$ и $Oy$ соответственно, где $a \ge b$.
2. Применяем ко всем точкам $(x,y)$ контура прямоугольника преобразование горизонтального сдвига, заданное формулами $x' = x + ky$ и $y' = y$.
3. В качестве коэффициента сдвига $k$ выбираем значение $k = \sqrt{(a/b)^2 - 1}$ (или значение с противоположным знаком).
Если бы вертикальная сторона была длиннее горизонтальной ($b > a$), то аналогичным образом следовало бы применить вертикальный сдвиг $x'=x$, $y'=y+kx$ с коэффициентом $k = \pm\sqrt{(b/a)^2 - 1}$.

Ответ: Одним из возможных преобразований является сдвиг. Например, если прямоугольник со сторонами $2a$ и $2b$ ($a \ge b$) расположен с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям $Ox$ и $Oy$ соответственно, то преобразование горизонтального сдвига, задаваемое для каждой точки $(x, y)$ формулами $x' = x + ky$, $y' = y$, где коэффициент сдвига $k = \sqrt{(a/b)^2 - 1}$, преобразует данный прямоугольник в ромб.